Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68092 / 68820
↖ ↑ ↗
← S  8.982749°
E  7.020264°		 ← 301.62 m → S  8.982749°
E  7.023010°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  8.985462°
E  7.020264°		 ← 301.61 m →
90 987 m²		 S  8.985462°
E  7.023010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519504547119141 y=0.525058746337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519504547119141 × 217)
    floor (0.519504547119141 × 131072)
    floor (68092.5)     		tx = 68092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525058746337891 × 217)
    floor (0.525058746337891 × 131072)
    floor (68820.5)     		ty = 68820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68092 / 68820 ti = "17/68092/68820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68092/68820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68092 ÷ 217
    68092 ÷ 131072     		x = 0.519500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68820 ÷ 217
    68820 ÷ 131072     		y = 0.525054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519500732421875 × 2 - 1) × π
    0.03900146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12252672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.05010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.157424778352264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12252672} λ = 0.12252672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157424778352264))-π/2
    2×atan(0.854341076134958)-π/2
    2×0.70700889007132-π/2
    1.41401778014264-1.57079632675     		φ = -0.15677855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12252672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15677855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.982749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68092 KachelY 68820 0.12252672 -0.15677855 7.020264 -8.982749
    Oben rechts KachelX + 1 68093 KachelY 68820 0.12257465 -0.15677855 7.023010 -8.982749
    Unten links KachelX 68092 KachelY + 1 68821 0.12252672 -0.15682590 7.020264 -8.985462
    Unten rechts KachelX + 1 68093 KachelY + 1 68821 0.12257465 -0.15682590 7.023010 -8.985462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15677855--0.15682590) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15677855--0.15682590) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12252672-0.12257465) × cos(-0.15677855) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.987735395534966 × 6371000     		do = 301.616885483333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12252672-0.12257465) × cos(-0.15682590) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.987728001336869 × 6371000     		du = 301.614627575992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15677855)-sin(-0.15682590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987735395534966-0.987728001336869)×R²
    abs(0.12257465-0.12252672)×7.39419809725472e-06×R²
    4.79299999999877e-05×7.39419809725472e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×7.39419809725472e-06×40589641000000     		ar = 90987.4751996238m²