Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68092 / 43539
↖ ↑ ↗
← N 51.585603°
E  7.020264°		 ← 189.74 m → N 51.585603°
E  7.023010°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
N 51.583897°
E  7.020264°		 ← 189.74 m →
35 999 m²		 N 51.583897°
E  7.023010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519504547119141 y=0.332180023193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519504547119141 × 217)
    floor (0.519504547119141 × 131072)
    floor (68092.5)     		tx = 68092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332180023193359 × 217)
    floor (0.332180023193359 × 131072)
    floor (43539.5)     		ty = 43539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68092 / 43539 ti = "17/68092/43539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68092/43539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68092 ÷ 217
    68092 ÷ 131072     		x = 0.519500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43539 ÷ 217
    43539 ÷ 131072     		y = 0.332176208496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519500732421875 × 2 - 1) × π
    0.03900146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12252672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332176208496094 × 2 - 1) × π
    0.335647583007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.05446798094238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12252672} λ = 0.12252672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05446798094238))-π/2
    2×atan(2.87044761476244)-π/2
    2×1.23556747470169-π/2
    2.47113494940338-1.57079632675     		φ = 0.90033862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12252672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90033862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.585603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68092 KachelY 43539 0.12252672 0.90033862 7.020264 51.585603
    Oben rechts KachelX + 1 68093 KachelY 43539 0.12257465 0.90033862 7.023010 51.585603
    Unten links KachelX 68092 KachelY + 1 43540 0.12252672 0.90030884 7.020264 51.583897
    Unten rechts KachelX + 1 68093 KachelY + 1 43540 0.12257465 0.90030884 7.023010 51.583897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90033862-0.90030884) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90033862-0.90030884) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12252672-0.12257465) × cos(0.90033862) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.621344682479607 × 6371000     		do = 189.73507357163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12252672-0.12257465) × cos(0.90030884) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.621368015946495 × 6371000     		du = 189.742198726445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90033862)-sin(0.90030884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621344682479607-0.621368015946495)×R²
    abs(0.12257465-0.12252672)×2.33334668877649e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.33334668877649e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.33334668877649e-05×40589641000000     		ar = 35998.804062604m²