Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6809 / 6326
↖ ↑ ↗
← S 69.503765°
E119.223633°		 ← 1 710.99 m → S 69.503765°
E119.267578°		 →
↑
1 710.36 m
↓
↑
1 710.36 m
↓
S 69.519147°
E119.223633°		 ← 1 709.76 m →
2 925 348 m²		 S 69.519147°
E119.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.83123779296875 y=0.77227783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.83123779296875 × 213)
    floor (0.83123779296875 × 8192)
    floor (6809.5)     		tx = 6809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77227783203125 × 213)
    floor (0.77227783203125 × 8192)
    floor (6326.5)     		ty = 6326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6809 / 6326 ti = "13/6809/6326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6809/6326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6809 ÷ 213
    6809 ÷ 8192     		x = 0.8311767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6326 ÷ 213
    6326 ÷ 8192     		y = 0.772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8311767578125 × 2 - 1) × π
    0.662353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08084494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.54443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7103885784436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08084494} λ = 2.08084494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7103885784436))-π/2
    2×atan(0.18079552572191)-π/2
    2×0.178863390807555-π/2
    0.35772678161511-1.57079632675     		φ = -1.21306955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08084494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21306955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.503765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6809 KachelY 6326 2.08084494 -1.21306955 119.223633 -69.503765
    Oben rechts KachelX + 1 6810 KachelY 6326 2.08161193 -1.21306955 119.267578 -69.503765
    Unten links KachelX 6809 KachelY + 1 6327 2.08084494 -1.21333801 119.223633 -69.519147
    Unten rechts KachelX + 1 6810 KachelY + 1 6327 2.08161193 -1.21333801 119.267578 -69.519147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21306955--1.21333801) × R
    0.000268460000000026 × 6371000     		dl = 1710.35866000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21306955--1.21333801) × R
    0.000268460000000026 × 6371000     		dr = 1710.35866000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08084494-2.08161193) × cos(-1.21306955) × R
    0.000766990000000245 × 0.350145822534387 × 6371000     		do = 1710.98521233636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08084494-2.08161193) × cos(-1.21333801) × R
    0.000766990000000245 × 0.349894344725622 × 6371000     		du = 1709.75636771124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21306955)-sin(-1.21333801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350145822534387-0.349894344725622)×R²
    abs(2.08161193-2.08084494)×0.000251477808764777×R²
    0.000766990000000245×0.000251477808764777×6371000²
    0.000766990000000245×0.000251477808764777×40589641000000     		ar = 2925347.51009543m²