Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6809 / 1913
↖ ↑ ↗
← N 79.714683°
W 30.388184°		 ← 436.25 m → N 79.714683°
W 30.366211°		 →
↑
436.35 m
↓
↑
436.35 m
↓
N 79.710759°
W 30.388184°		 ← 436.41 m →
190 392 m²		 N 79.710759°
W 30.366211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415618896484375 y=0.116790771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415618896484375 × 214)
    floor (0.415618896484375 × 16384)
    floor (6809.5)     		tx = 6809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116790771484375 × 214)
    floor (0.116790771484375 × 16384)
    floor (1913.5)     		ty = 1913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6809 / 1913 ti = "14/6809/1913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6809/1913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6809 ÷ 214
    6809 ÷ 16384     		x = 0.41558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1913 ÷ 214
    1913 ÷ 16384     		y = 0.11676025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.1688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53037386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11676025390625 × 2 - 1) × π
    0.7664794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40796634171466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53037386} λ = -0.53037386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40796634171466))-π/2
    2×atan(11.1113414808636)-π/2
    2×1.48104000356876-π/2
    2.96208000713751-1.57079632675     		φ = 1.39128368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53037386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.388184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39128368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.714683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6809 KachelY 1913 -0.53037386 1.39128368 -30.388184 79.714683
    Oben rechts KachelX + 1 6810 KachelY 1913 -0.52999036 1.39128368 -30.366211 79.714683
    Unten links KachelX 6809 KachelY + 1 1914 -0.53037386 1.39121519 -30.388184 79.710759
    Unten rechts KachelX + 1 6810 KachelY + 1 1914 -0.52999036 1.39121519 -30.366211 79.710759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39128368-1.39121519) × R
    6.84899999998656e-05 × 6371000     		dl = 436.349789999144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39128368-1.39121519) × R
    6.84899999998656e-05 × 6371000     		dr = 436.349789999144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53037386--0.52999036) × cos(1.39128368) × R
    0.000383499999999981 × 0.178550072806865 × 6371000     		do = 436.247554062427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53037386--0.52999036) × cos(1.39121519) × R
    0.000383499999999981 × 0.178617461810347 × 6371000     		du = 436.41220416577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39128368)-sin(1.39121519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178550072806865-0.178617461810347)×R²
    abs(-0.52999036--0.53037386)×6.73890034813829e-05×R²
    0.000383499999999981×6.73890034813829e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.73890034813829e-05×40589641000000     		ar = 190392.451195974m²