Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68088 / 98830
↖ ↑ ↗
← S 67.082411°
E  7.009277°		 ← 118.91 m → S 67.082411°
E  7.012024°		 →
↑
118.95 m
↓
↑
118.95 m
↓
S 67.083481°
E  7.009277°		 ← 118.90 m →
14 144 m²		 S 67.083481°
E  7.012024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519474029541016 y=0.754016876220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519474029541016 × 217)
    floor (0.519474029541016 × 131072)
    floor (68088.5)     		tx = 68088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754016876220703 × 217)
    floor (0.754016876220703 × 131072)
    floor (98830.5)     		ty = 98830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68088 / 98830 ti = "17/68088/98830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68088/98830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68088 ÷ 217
    68088 ÷ 131072     		x = 0.51947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98830 ÷ 217
    98830 ÷ 131072     		y = 0.754013061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51947021484375 × 2 - 1) × π
    0.0389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12233497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754013061523438 × 2 - 1) × π
    -0.508026123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59601113595015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12233497} λ = 0.12233497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59601113595015))-π/2
    2×atan(0.202703464086256)-π/2
    2×0.199993687940284-π/2
    0.399987375880569-1.57079632675     		φ = -1.17080895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12233497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.009277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17080895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.082411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68088 KachelY 98830 0.12233497 -1.17080895 7.009277 -67.082411
    Oben rechts KachelX + 1 68089 KachelY 98830 0.12238290 -1.17080895 7.012024 -67.082411
    Unten links KachelX 68088 KachelY + 1 98831 0.12233497 -1.17082762 7.009277 -67.083481
    Unten rechts KachelX + 1 68089 KachelY + 1 98831 0.12238290 -1.17082762 7.012024 -67.083481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17080895--1.17082762) × R
    1.86699999999984e-05 × 6371000     		dl = 118.94656999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17080895--1.17082762) × R
    1.86699999999984e-05 × 6371000     		dr = 118.94656999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12233497-0.12238290) × cos(-1.17080895) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.389406715535785 × 6371000     		do = 118.910025151644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12233497-0.12238290) × cos(-1.17082762) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.389389519167385 × 6371000     		du = 118.904774033681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17080895)-sin(-1.17082762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389406715535785-0.389389519167385)×R²
    abs(0.12238290-0.12233497)×1.71963683994747e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.71963683994747e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.71963683994747e-05×40589641000000     		ar = 14143.6273295912m²