Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68085 / 69040
↖ ↑ ↗
← S  9.579084°
E  7.001038°		 ← 301.10 m → S  9.579084°
E  7.003784°		 →
↑
301.16 m
↓
↑
301.16 m
↓
S  9.581793°
E  7.001038°		 ← 301.10 m →
90 679 m²		 S  9.581793°
E  7.003784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519451141357422 y=0.526737213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519451141357422 × 217)
    floor (0.519451141357422 × 131072)
    floor (68085.5)     		tx = 68085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526737213134766 × 217)
    floor (0.526737213134766 × 131072)
    floor (69040.5)     		ty = 69040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68085 / 69040 ti = "17/68085/69040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68085/69040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68085 ÷ 217
    68085 ÷ 131072     		x = 0.519447326660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69040 ÷ 217
    69040 ÷ 131072     		y = 0.5267333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519447326660156 × 2 - 1) × π
    0.0388946533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12219116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5267333984375 × 2 - 1) × π
    -0.053466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.167970896268677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12219116} λ = 0.12219116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167970896268677))-π/2
    2×atan(0.845378437993559)-π/2
    2×0.701804882906133-π/2
    1.40360976581227-1.57079632675     		φ = -0.16718656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12219116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.001038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16718656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.579084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68085 KachelY 69040 0.12219116 -0.16718656 7.001038 -9.579084
    Oben rechts KachelX + 1 68086 KachelY 69040 0.12223909 -0.16718656 7.003784 -9.579084
    Unten links KachelX 68085 KachelY + 1 69041 0.12219116 -0.16723383 7.001038 -9.581793
    Unten rechts KachelX + 1 68086 KachelY + 1 69041 0.12223909 -0.16723383 7.003784 -9.581793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16718656--0.16723383) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dl = 301.157169999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16718656--0.16723383) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dr = 301.157169999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12219116-0.12223909) × cos(-0.16718656) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986056850001528 × 6371000     		do = 301.104321411882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12219116-0.12223909) × cos(-0.16723383) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986048982755928 × 6371000     		du = 301.101919053795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16718656)-sin(-0.16723383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986056850001528-0.986048982755928)×R²
    abs(0.12223909-0.12219116)×7.86724560020158e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.86724560020158e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.86724560020158e-06×40589641000000     		ar = 90679.3635843463m²