Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68085 / 68784
↖ ↑ ↗
← S  8.885071°
E  7.001038°		 ← 301.70 m → S  8.885071°
E  7.003784°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.887785°
E  7.001038°		 ← 301.70 m →
91 050 m²		 S  8.887785°
E  7.003784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519451141357422 y=0.524784088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519451141357422 × 217)
    floor (0.519451141357422 × 131072)
    floor (68085.5)     		tx = 68085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524784088134766 × 217)
    floor (0.524784088134766 × 131072)
    floor (68784.5)     		ty = 68784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68085 / 68784 ti = "17/68085/68784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68085/68784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68085 ÷ 217
    68085 ÷ 131072     		x = 0.519447326660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68784 ÷ 217
    68784 ÷ 131072     		y = 0.5247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519447326660156 × 2 - 1) × π
    0.0388946533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12219116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.155699049965942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12219116} λ = 0.12219116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155699049965942))-π/2
    2×atan(0.855816709686779)-π/2
    2×0.707861285998055-π/2
    1.41572257199611-1.57079632675     		φ = -0.15507375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12219116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.001038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15507375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.885071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68085 KachelY 68784 0.12219116 -0.15507375 7.001038 -8.885071
    Oben rechts KachelX + 1 68086 KachelY 68784 0.12223909 -0.15507375 7.003784 -8.885071
    Unten links KachelX 68085 KachelY + 1 68785 0.12219116 -0.15512112 7.001038 -8.887785
    Unten rechts KachelX + 1 68086 KachelY + 1 68785 0.12223909 -0.15512112 7.003784 -8.887785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15507375--0.15512112) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dl = 301.794269999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15507375--0.15512112) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dr = 301.794269999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12219116-0.12223909) × cos(-0.15507375) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988000142554999 × 6371000     		do = 301.697729170894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12219116-0.12223909) × cos(-0.15512112) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987992825009568 × 6371000     		du = 301.695494670366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15507375)-sin(-0.15512112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988000142554999-0.987992825009568)×R²
    abs(0.12223909-0.12219116)×7.3175454312624e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.3175454312624e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.3175454312624e-06×40589641000000     		ar = 91050.3087730722m²