Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68081 / 69046
↖ ↑ ↗
← S  9.595334°
E  6.990051°		 ← 301.15 m → S  9.595334°
E  6.992798°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.598042°
E  6.990051°		 ← 301.15 m →
90 675 m²		 S  9.598042°
E  6.992798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519420623779297 y=0.526782989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519420623779297 × 217)
    floor (0.519420623779297 × 131072)
    floor (68081.5)     		tx = 68081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526782989501953 × 217)
    floor (0.526782989501953 × 131072)
    floor (69046.5)     		ty = 69046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68081 / 69046 ti = "17/68081/69046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68081/69046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68081 ÷ 217
    68081 ÷ 131072     		x = 0.519416809082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69046 ÷ 217
    69046 ÷ 131072     		y = 0.526779174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519416809082031 × 2 - 1) × π
    0.0388336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12199941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526779174804688 × 2 - 1) × π
    -0.053558349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.168258517666397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12199941} λ = 0.12199941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168258517666397))-π/2
    2×atan(0.845135324029685)-π/2
    2×0.701663080776889-π/2
    1.40332616155378-1.57079632675     		φ = -0.16747017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12199941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.990051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16747017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.595334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68081 KachelY 69046 0.12199941 -0.16747017 6.990051 -9.595334
    Oben rechts KachelX + 1 68082 KachelY 69046 0.12204735 -0.16747017 6.992798 -9.595334
    Unten links KachelX 68081 KachelY + 1 69047 0.12199941 -0.16751743 6.990051 -9.598042
    Unten rechts KachelX + 1 68082 KachelY + 1 69047 0.12204735 -0.16751743 6.992798 -9.598042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16747017--0.16751743) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16747017--0.16751743) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12199941-0.12204735) × cos(-0.16747017) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986009615145963 × 6371000     		do = 301.152716353048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12199941-0.12204735) × cos(-0.16751743) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986001736348763 × 6371000     		du = 301.150309965583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16747017)-sin(-0.16751743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986009615145963-0.986001736348763)×R²
    abs(0.12204735-0.12199941)×7.87879719976736e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.87879719976736e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.87879719976736e-06×40589641000000     		ar = 90674.7510981956m²