Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68080 / 68777
↖ ↑ ↗
← S  8.866076°
E  6.987305°		 ← 301.78 m → S  8.866076°
E  6.990051°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.868790°
E  6.987305°		 ← 301.77 m →
91 074 m²		 S  8.868790°
E  6.990051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519412994384766 y=0.524730682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519412994384766 × 217)
    floor (0.519412994384766 × 131072)
    floor (68080.5)     		tx = 68080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524730682373047 × 217)
    floor (0.524730682373047 × 131072)
    floor (68777.5)     		ty = 68777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68080 / 68777 ti = "17/68080/68777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68080/68777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68080 ÷ 217
    68080 ÷ 131072     		x = 0.5194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68777 ÷ 217
    68777 ÷ 131072     		y = 0.524726867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5194091796875 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524726867675781 × 2 - 1) × π
    -0.0494537353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.155363491668602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12195147} λ = 0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155363491668602))-π/2
    2×atan(0.856103934272318)-π/2
    2×0.708027056113425-π/2
    1.41605411222685-1.57079632675     		φ = -0.15474221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15474221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.866076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68080 KachelY 68777 0.12195147 -0.15474221 6.987305 -8.866076
    Oben rechts KachelX + 1 68081 KachelY 68777 0.12199941 -0.15474221 6.990051 -8.866076
    Unten links KachelX 68080 KachelY + 1 68778 0.12195147 -0.15478958 6.987305 -8.868790
    Unten rechts KachelX + 1 68081 KachelY + 1 68778 0.12199941 -0.15478958 6.990051 -8.868790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15474221--0.15478958) × R
    4.73700000000188e-05 × 6371000     		dl = 301.79427000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15474221--0.15478958) × R
    4.73700000000188e-05 × 6371000     		dr = 301.79427000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12195147-0.12199941) × cos(-0.15474221) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988051295590104 × 6371000     		do = 301.776298113543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12195147-0.12199941) × cos(-0.15478958) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988043993561609 × 6371000     		du = 301.774067886086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15474221)-sin(-0.15478958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988051295590104-0.988043993561609)×R²
    abs(0.12199941-0.12195147)×7.30202849541506e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.30202849541506e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.30202849541506e-06×40589641000000     		ar = 91074.021074578m²