Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6808 / 1911
↖ ↑ ↗
← N 79.722526°
W 30.410156°		 ← 435.91 m → N 79.722526°
W 30.388184°		 →
↑
435.97 m
↓
↑
435.97 m
↓
N 79.718605°
W 30.410156°		 ← 436.07 m →
190 077 m²		 N 79.718605°
W 30.388184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415557861328125 y=0.116668701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415557861328125 × 214)
    floor (0.415557861328125 × 16384)
    floor (6808.5)     		tx = 6808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116668701171875 × 214)
    floor (0.116668701171875 × 16384)
    floor (1911.5)     		ty = 1911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6808 / 1911 ti = "14/6808/1911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6808/1911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6808 ÷ 214
    6808 ÷ 16384     		x = 0.41552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1911 ÷ 214
    1911 ÷ 16384     		y = 0.11663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41552734375 × 2 - 1) × π
    -0.1689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53075735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11663818359375 × 2 - 1) × π
    0.7667236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40873333210858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53075735} λ = -0.53075735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40873333210858))-π/2
    2×atan(11.1198670421368)-π/2
    2×1.48110845083311-π/2
    2.96221690166622-1.57079632675     		φ = 1.39142057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53075735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.410156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39142057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.722526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6808 KachelY 1911 -0.53075735 1.39142057 -30.410156 79.722526
    Oben rechts KachelX + 1 6809 KachelY 1911 -0.53037386 1.39142057 -30.388184 79.722526
    Unten links KachelX 6808 KachelY + 1 1912 -0.53075735 1.39135214 -30.410156 79.718605
    Unten rechts KachelX + 1 6809 KachelY + 1 1912 -0.53037386 1.39135214 -30.388184 79.718605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39142057-1.39135214) × R
    6.84300000000082e-05 × 6371000     		dl = 435.967530000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39142057-1.39135214) × R
    6.84300000000082e-05 × 6371000     		dr = 435.967530000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53075735--0.53037386) × cos(1.39142057) × R
    0.000383490000000042 × 0.178415380843522 × 6371000     		do = 435.907097240422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53075735--0.53037386) × cos(1.39135214) × R
    0.000383490000000042 × 0.178482712484118 × 6371000     		du = 436.071602900563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39142057)-sin(1.39135214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178415380843522-0.178482712484118)×R²
    abs(-0.53037386--0.53075735)×6.73316405968571e-05×R²
    0.000383490000000042×6.73316405968571e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.73316405968571e-05×40589641000000     		ar = 190077.200129493m²