Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6808 / 1659
↖ ↑ ↗
← N 80.664872°
W 30.410156°		 ← 396.31 m → N 80.664872°
W 30.388184°		 →
↑
396.34 m
↓
↑
396.34 m
↓
N 80.661308°
W 30.410156°		 ← 396.46 m →
157 104 m²		 N 80.661308°
W 30.388184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415557861328125 y=0.101287841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415557861328125 × 214)
    floor (0.415557861328125 × 16384)
    floor (6808.5)     		tx = 6808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101287841796875 × 214)
    floor (0.101287841796875 × 16384)
    floor (1659.5)     		ty = 1659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6808 / 1659 ti = "14/6808/1659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6808/1659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6808 ÷ 214
    6808 ÷ 16384     		x = 0.41552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1659 ÷ 214
    1659 ÷ 16384     		y = 0.10125732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41552734375 × 2 - 1) × π
    -0.1689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53075735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10125732421875 × 2 - 1) × π
    0.7974853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50537412174261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53075735} λ = -0.53075735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50537412174261))-π/2
    2×atan(12.2481404043716)-π/2
    2×1.4893319705248-π/2
    2.9786639410496-1.57079632675     		φ = 1.40786761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53075735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.410156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40786761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.664872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6808 KachelY 1659 -0.53075735 1.40786761 -30.410156 80.664872
    Oben rechts KachelX + 1 6809 KachelY 1659 -0.53037386 1.40786761 -30.388184 80.664872
    Unten links KachelX 6808 KachelY + 1 1660 -0.53075735 1.40780540 -30.410156 80.661308
    Unten rechts KachelX + 1 6809 KachelY + 1 1660 -0.53037386 1.40780540 -30.388184 80.661308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40786761-1.40780540) × R
    6.22100000000625e-05 × 6371000     		dl = 396.339910000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40786761-1.40780540) × R
    6.22100000000625e-05 × 6371000     		dr = 396.339910000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53075735--0.53037386) × cos(1.40786761) × R
    0.000383490000000042 × 0.162208828340064 × 6371000     		do = 396.311008469059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53075735--0.53037386) × cos(1.40780540) × R
    0.000383490000000042 × 0.162270214145036 × 6371000     		du = 396.460987175664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40786761)-sin(1.40780540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162208828340064-0.162270214145036)×R²
    abs(-0.53037386--0.53075735)×6.13858049725025e-05×R²
    0.000383490000000042×6.13858049725025e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.13858049725025e-05×40589641000000     		ar = 157103.590753863m²