Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68079 / 68670
↖ ↑ ↗
← S  8.575589°
E  6.984558°		 ← 301.95 m → S  8.575589°
E  6.987305°		 →
↑
301.99 m
↓
↑
301.99 m
↓
S  8.578305°
E  6.984558°		 ← 301.95 m →
91 184 m²		 S  8.578305°
E  6.987305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519405364990234 y=0.523914337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519405364990234 × 217)
    floor (0.519405364990234 × 131072)
    floor (68079.5)     		tx = 68079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523914337158203 × 217)
    floor (0.523914337158203 × 131072)
    floor (68670.5)     		ty = 68670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68079 / 68670 ti = "17/68079/68670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68079/68670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68079 ÷ 217
    68079 ÷ 131072     		x = 0.519401550292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68670 ÷ 217
    68670 ÷ 131072     		y = 0.523910522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519401550292969 × 2 - 1) × π
    0.0388031005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12190354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523910522460938 × 2 - 1) × π
    -0.047821044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.150234243409256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12190354} λ = 0.12190354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150234243409256))-π/2
    2×atan(0.860506384865955)-π/2
    2×0.710562027327536-π/2
    1.42112405465507-1.57079632675     		φ = -0.14967227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12190354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.984558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14967227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.575589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68079 KachelY 68670 0.12190354 -0.14967227 6.984558 -8.575589
    Oben rechts KachelX + 1 68080 KachelY 68670 0.12195147 -0.14967227 6.987305 -8.575589
    Unten links KachelX 68079 KachelY + 1 68671 0.12190354 -0.14971967 6.984558 -8.578305
    Unten rechts KachelX + 1 68080 KachelY + 1 68671 0.12195147 -0.14971967 6.987305 -8.578305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14967227--0.14971967) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dl = 301.985400000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14967227--0.14971967) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dr = 301.985400000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12190354-0.12195147) × cos(-0.14967227) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988820000193877 × 6371000     		do = 301.948082563813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12190354-0.12195147) × cos(-0.14971967) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988812931075928 × 6371000     		du = 301.945923923605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14967227)-sin(-0.14971967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988820000193877-0.988812931075928)×R²
    abs(0.12195147-0.12190354)×7.06911794967624e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.06911794967624e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.06911794967624e-06×40589641000000     		ar = 91183.5865704644m²