Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68076 / 68974
↖ ↑ ↗
← S  9.400291°
E  6.976319°		 ← 301.26 m → S  9.400291°
E  6.979065°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.403001°
E  6.976319°		 ← 301.26 m →
90 784 m²		 S  9.403001°
E  6.979065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519382476806641 y=0.526233673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519382476806641 × 217)
    floor (0.519382476806641 × 131072)
    floor (68076.5)     		tx = 68076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526233673095703 × 217)
    floor (0.526233673095703 × 131072)
    floor (68974.5)     		ty = 68974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68076 / 68974 ti = "17/68076/68974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68076/68974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68076 ÷ 217
    68076 ÷ 131072     		x = 0.519378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68974 ÷ 217
    68974 ÷ 131072     		y = 0.526229858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519378662109375 × 2 - 1) × π
    0.03875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12175973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526229858398438 × 2 - 1) × π
    -0.052459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.164807060893753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12175973} λ = 0.12175973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164807060893753))-π/2
    2×atan(0.848057311724023)-π/2
    2×0.703365151843469-π/2
    1.40673030368694-1.57079632675     		φ = -0.16406602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12175973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.976319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16406602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.400291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68076 KachelY 68974 0.12175973 -0.16406602 6.976319 -9.400291
    Oben rechts KachelX + 1 68077 KachelY 68974 0.12180766 -0.16406602 6.979065 -9.400291
    Unten links KachelX 68076 KachelY + 1 68975 0.12175973 -0.16411332 6.976319 -9.403001
    Unten rechts KachelX + 1 68077 KachelY + 1 68975 0.12180766 -0.16411332 6.979065 -9.403001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16406602--0.16411332) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16406602--0.16411332) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12175973-0.12180766) × cos(-0.16406602) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986571333480615 × 6371000     		do = 301.261425131457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12175973-0.12180766) × cos(-0.16411332) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986563606822375 × 6371000     		du = 301.259065703412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16406602)-sin(-0.16411332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986571333480615-0.986563606822375)×R²
    abs(0.12180766-0.12175973)×7.72665823955965e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.72665823955965e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.72665823955965e-06×40589641000000     		ar = 90784.2628310535m²