Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68074 / 68704
↖ ↑ ↗
← S  8.667918°
E  6.970825°		 ← 301.94 m → S  8.667918°
E  6.973572°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
S  8.670633°
E  6.970825°		 ← 301.94 m →
91 161 m²		 S  8.670633°
E  6.973572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519367218017578 y=0.524173736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519367218017578 × 217)
    floor (0.519367218017578 × 131072)
    floor (68074.5)     		tx = 68074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524173736572266 × 217)
    floor (0.524173736572266 × 131072)
    floor (68704.5)     		ty = 68704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68074 / 68704 ti = "17/68074/68704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68074/68704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68074 ÷ 217
    68074 ÷ 131072     		x = 0.519363403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68704 ÷ 217
    68704 ÷ 131072     		y = 0.524169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519363403320312 × 2 - 1) × π
    0.038726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12166385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524169921875 × 2 - 1) × π
    -0.04833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.151864097996338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12166385} λ = 0.12166385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151864097996338))-π/2
    2×atan(0.859105026902437)-π/2
    2×0.709756309182531-π/2
    1.41951261836506-1.57079632675     		φ = -0.15128371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12166385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.970825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15128371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.667918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68074 KachelY 68704 0.12166385 -0.15128371 6.970825 -8.667918
    Oben rechts KachelX + 1 68075 KachelY 68704 0.12171179 -0.15128371 6.973572 -8.667918
    Unten links KachelX 68074 KachelY + 1 68705 0.12166385 -0.15133110 6.970825 -8.670633
    Unten rechts KachelX + 1 68075 KachelY + 1 68705 0.12171179 -0.15133110 6.973572 -8.670633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15128371--0.15133110) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dl = 301.921690000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15128371--0.15133110) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dr = 301.921690000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12166385-0.12171179) × cos(-0.15128371) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988578428060257 × 6371000     		do = 301.937297938317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12166385-0.12171179) × cos(-0.15133110) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988571284931027 × 6371000     		du = 301.935116242787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15128371)-sin(-0.15133110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988578428060257-0.988571284931027)×R²
    abs(0.12171179-0.12166385)×7.14312922955873e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.14312922955873e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.14312922955873e-06×40589641000000     		ar = 91161.0899340841m²