Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68072 / 68968
↖ ↑ ↗
← S  9.384032°
E  6.965332°		 ← 301.28 m → S  9.384032°
E  6.968078°		 →
↑
301.28 m
↓
↑
301.28 m
↓
S  9.386742°
E  6.965332°		 ← 301.27 m →
90 769 m²		 S  9.386742°
E  6.968078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519351959228516 y=0.526187896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519351959228516 × 217)
    floor (0.519351959228516 × 131072)
    floor (68072.5)     		tx = 68072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526187896728516 × 217)
    floor (0.526187896728516 × 131072)
    floor (68968.5)     		ty = 68968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68072 / 68968 ti = "17/68072/68968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68072/68968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68072 ÷ 217
    68072 ÷ 131072     		x = 0.51934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68968 ÷ 217
    68968 ÷ 131072     		y = 0.52618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51934814453125 × 2 - 1) × π
    0.0386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12156798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.164519439496033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12156798} λ = 0.12156798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164519439496033))-π/2
    2×atan(0.848301266234955)-π/2
    2×0.703507034687059-π/2
    1.40701406937412-1.57079632675     		φ = -0.16378226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12156798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.965332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16378226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.384032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68072 KachelY 68968 0.12156798 -0.16378226 6.965332 -9.384032
    Oben rechts KachelX + 1 68073 KachelY 68968 0.12161591 -0.16378226 6.968078 -9.384032
    Unten links KachelX 68072 KachelY + 1 68969 0.12156798 -0.16382955 6.965332 -9.386742
    Unten rechts KachelX + 1 68073 KachelY + 1 68969 0.12161591 -0.16382955 6.968078 -9.386742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16378226--0.16382955) × R
    4.72899999999776e-05 × 6371000     		dl = 301.284589999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16378226--0.16382955) × R
    4.72899999999776e-05 × 6371000     		dr = 301.284589999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12156798-0.12161591) × cos(-0.16378226) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.986617640555238 × 6371000     		do = 301.275565553681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12156798-0.12161591) × cos(-0.16382955) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.986609928769845 × 6371000     		du = 301.273210667238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16378226)-sin(-0.16382955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986617640555238-0.986609928769845)×R²
    abs(0.12161591-0.12156798)×7.7117853933828e-06×R²
    4.79299999999877e-05×7.7117853933828e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×7.7117853933828e-06×40589641000000     		ar = 90769.3305162591m²