Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68072 / 68724
↖ ↑ ↗
← S  8.722218°
E  6.965332°		 ← 301.83 m → S  8.722218°
E  6.968078°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.724933°
E  6.965332°		 ← 301.83 m →
91 110 m²		 S  8.724933°
E  6.968078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519351959228516 y=0.524326324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519351959228516 × 217)
    floor (0.519351959228516 × 131072)
    floor (68072.5)     		tx = 68072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524326324462891 × 217)
    floor (0.524326324462891 × 131072)
    floor (68724.5)     		ty = 68724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68072 / 68724 ti = "17/68072/68724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68072/68724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68072 ÷ 217
    68072 ÷ 131072     		x = 0.51934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68724 ÷ 217
    68724 ÷ 131072     		y = 0.524322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51934814453125 × 2 - 1) × π
    0.0386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12156798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.04864501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.152822835988739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12156798} λ = 0.12156798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.152822835988739))-π/2
    2×atan(0.858281764982984)-π/2
    2×0.709282449639162-π/2
    1.41856489927832-1.57079632675     		φ = -0.15223143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12156798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.965332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15223143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.722218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68072 KachelY 68724 0.12156798 -0.15223143 6.965332 -8.722218
    Oben rechts KachelX + 1 68073 KachelY 68724 0.12161591 -0.15223143 6.968078 -8.722218
    Unten links KachelX 68072 KachelY + 1 68725 0.12156798 -0.15227881 6.965332 -8.724933
    Unten rechts KachelX + 1 68073 KachelY + 1 68725 0.12161591 -0.15227881 6.968078 -8.724933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15223143--0.15227881) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dl = 301.857979999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15223143--0.15227881) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dr = 301.857979999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12156798-0.12161591) × cos(-0.15223143) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.988435155797901 × 6371000     		do = 301.830565697736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12156798-0.12161591) × cos(-0.15227881) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.988427969789476 × 6371000     		du = 301.828371363616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15223143)-sin(-0.15227881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988435155797901-0.988427969789476)×R²
    abs(0.12161591-0.12156798)×7.18600842486428e-06×R²
    4.79299999999877e-05×7.18600842486428e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×7.18600842486428e-06×40589641000000     		ar = 91109.6336921625m²