Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68070 / 68850
↖ ↑ ↗
← S  9.064127°
E  6.959839°		 ← 301.61 m → S  9.064127°
E  6.962585°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.066839°
E  6.959839°		 ← 301.61 m →
90 948 m²		 S  9.066839°
E  6.962585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519336700439453 y=0.525287628173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519336700439453 × 217)
    floor (0.519336700439453 × 131072)
    floor (68070.5)     		tx = 68070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525287628173828 × 217)
    floor (0.525287628173828 × 131072)
    floor (68850.5)     		ty = 68850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68070 / 68850 ti = "17/68070/68850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68070/68850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68070 ÷ 217
    68070 ÷ 131072     		x = 0.519332885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68850 ÷ 217
    68850 ÷ 131072     		y = 0.525283813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519332885742188 × 2 - 1) × π
    0.038665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12147210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525283813476562 × 2 - 1) × π
    -0.050567626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.158862885340866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12147210} λ = 0.12147210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158862885340866))-π/2
    2×atan(0.85311332529285)-π/2
    2×0.706298735454834-π/2
    1.41259747090967-1.57079632675     		φ = -0.15819886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12147210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.959839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15819886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.064127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68070 KachelY 68850 0.12147210 -0.15819886 6.959839 -9.064127
    Oben rechts KachelX + 1 68071 KachelY 68850 0.12152004 -0.15819886 6.962585 -9.064127
    Unten links KachelX 68070 KachelY + 1 68851 0.12147210 -0.15824619 6.959839 -9.066839
    Unten rechts KachelX + 1 68071 KachelY + 1 68851 0.12152004 -0.15824619 6.962585 -9.066839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15819886--0.15824619) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dl = 301.539430000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15819886--0.15824619) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dr = 301.539430000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12147210-0.12152004) × cos(-0.15819886) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987512636280938 × 6371000     		do = 301.611777695433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12147210-0.12152004) × cos(-0.15824619) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987505178815438 × 6371000     		du = 301.609499993514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15819886)-sin(-0.15824619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987512636280938-0.987505178815438)×R²
    abs(0.12152004-0.12147210)×7.45746550023796e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.45746550023796e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.45746550023796e-06×40589641000000     		ar = 90947.5001361066m²