Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68070 / 68662
↖ ↑ ↗
← S  8.553862°
E  6.959839°		 ← 302.03 m → S  8.553862°
E  6.962585°		 →
↑
302.05 m
↓
↑
302.05 m
↓
S  8.556578°
E  6.959839°		 ← 302.03 m →
91 227 m²		 S  8.556578°
E  6.962585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519336700439453 y=0.523853302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519336700439453 × 217)
    floor (0.519336700439453 × 131072)
    floor (68070.5)     		tx = 68070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523853302001953 × 217)
    floor (0.523853302001953 × 131072)
    floor (68662.5)     		ty = 68662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68070 / 68662 ti = "17/68070/68662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68070/68662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68070 ÷ 217
    68070 ÷ 131072     		x = 0.519332885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68662 ÷ 217
    68662 ÷ 131072     		y = 0.523849487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519332885742188 × 2 - 1) × π
    0.038665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12147210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523849487304688 × 2 - 1) × π
    -0.047698974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.149850748212296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12147210} λ = 0.12147210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.149850748212296))-π/2
    2×atan(0.860836448216314)-π/2
    2×0.710751636604604-π/2
    1.42150327320921-1.57079632675     		φ = -0.14929305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12147210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.959839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14929305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.553862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68070 KachelY 68662 0.12147210 -0.14929305 6.959839 -8.553862
    Oben rechts KachelX + 1 68071 KachelY 68662 0.12152004 -0.14929305 6.962585 -8.553862
    Unten links KachelX 68070 KachelY + 1 68663 0.12147210 -0.14934046 6.959839 -8.556578
    Unten rechts KachelX + 1 68071 KachelY + 1 68663 0.12152004 -0.14934046 6.962585 -8.556578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14929305--0.14934046) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dl = 302.049109999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14929305--0.14934046) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dr = 302.049109999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12147210-0.12152004) × cos(-0.14929305) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988876476131839 × 6371000     		do = 302.028329491136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12147210-0.12152004) × cos(-0.14934046) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988869423300542 × 6371000     		du = 302.026175374918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14929305)-sin(-0.14934046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988876476131839-0.988869423300542)×R²
    abs(0.12152004-0.12147210)×7.05283129776024e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.05283129776024e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.05283129776024e-06×40589641000000     		ar = 91227.0628102182m²