Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68069 / 68959
↖ ↑ ↗
← S  9.359643°
E  6.957092°		 ← 301.30 m → S  9.359643°
E  6.959839°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.362353°
E  6.957092°		 ← 301.29 m →
90 795 m²		 S  9.362353°
E  6.959839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519329071044922 y=0.526119232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519329071044922 × 217)
    floor (0.519329071044922 × 131072)
    floor (68069.5)     		tx = 68069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526119232177734 × 217)
    floor (0.526119232177734 × 131072)
    floor (68959.5)     		ty = 68959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68069 / 68959 ti = "17/68069/68959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68069/68959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68069 ÷ 217
    68069 ÷ 131072     		x = 0.519325256347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68959 ÷ 217
    68959 ÷ 131072     		y = 0.526115417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519325256347656 × 2 - 1) × π
    0.0386505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12142417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526115417480469 × 2 - 1) × π
    -0.0522308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.164088007399452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12142417} λ = 0.12142417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164088007399452))-π/2
    2×atan(0.848667329588841)-π/2
    2×0.703719871425275-π/2
    1.40743974285055-1.57079632675     		φ = -0.16335658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12142417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.957092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16335658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.359643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68069 KachelY 68959 0.12142417 -0.16335658 6.957092 -9.359643
    Oben rechts KachelX + 1 68070 KachelY 68959 0.12147210 -0.16335658 6.959839 -9.359643
    Unten links KachelX 68069 KachelY + 1 68960 0.12142417 -0.16340388 6.957092 -9.362353
    Unten rechts KachelX + 1 68070 KachelY + 1 68960 0.12147210 -0.16340388 6.959839 -9.362353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16335658--0.16340388) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16335658--0.16340388) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12142417-0.12147210) × cos(-0.16335658) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986686958717139 × 6371000     		do = 301.296732688402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12142417-0.12147210) × cos(-0.16340388) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986679265166605 × 6371000     		du = 301.294383370193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16335658)-sin(-0.16340388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986686958717139-0.986679265166605)×R²
    abs(0.12147210-0.12142417)×7.69355053475973e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.69355053475973e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.69355053475973e-06×40589641000000     		ar = 90794.9042266489m²