Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68067 / 68948
↖ ↑ ↗
← S  9.329832°
E  6.951599°		 ← 301.39 m → S  9.329832°
E  6.954346°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.332542°
E  6.951599°		 ← 301.38 m →
90 822 m²		 S  9.332542°
E  6.954346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519313812255859 y=0.526035308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519313812255859 × 217)
    floor (0.519313812255859 × 131072)
    floor (68067.5)     		tx = 68067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526035308837891 × 217)
    floor (0.526035308837891 × 131072)
    floor (68948.5)     		ty = 68948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68067 / 68948 ti = "17/68067/68948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68067/68948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68067 ÷ 217
    68067 ÷ 131072     		x = 0.519309997558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68948 ÷ 217
    68948 ÷ 131072     		y = 0.526031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519309997558594 × 2 - 1) × π
    0.0386199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12132829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.05206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.163560701503632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12132829} λ = 0.12132829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.163560701503632))-π/2
    2×atan(0.84911495488268)-π/2
    2×0.703980025493464-π/2
    1.40796005098693-1.57079632675     		φ = -0.16283628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12132829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.951599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16283628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.329832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68067 KachelY 68948 0.12132829 -0.16283628 6.951599 -9.329832
    Oben rechts KachelX + 1 68068 KachelY 68948 0.12137623 -0.16283628 6.954346 -9.329832
    Unten links KachelX 68067 KachelY + 1 68949 0.12132829 -0.16288358 6.951599 -9.332542
    Unten rechts KachelX + 1 68068 KachelY + 1 68949 0.12137623 -0.16288358 6.954346 -9.332542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16283628--0.16288358) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16283628--0.16288358) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12132829-0.12137623) × cos(-0.16283628) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986771442073917 × 6371000     		do = 301.38539790627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12132829-0.12137623) × cos(-0.16288358) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986763772806882 × 6371000     		du = 301.383055514711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16283628)-sin(-0.16288358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986771442073917-0.986763772806882)×R²
    abs(0.12137623-0.12132829)×7.66926703565929e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.66926703565929e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.66926703565929e-06×40589641000000     		ar = 90821.6243829864m²