Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68067 / 44898
↖ ↑ ↗
← N 49.206832°
E  6.951599°		 ← 199.54 m → N 49.206832°
E  6.954346°		 →
↑
199.54 m
↓
↑
199.54 m
↓
N 49.205037°
E  6.951599°		 ← 199.55 m →
39 818 m²		 N 49.205037°
E  6.954346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519313812255859 y=0.342548370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519313812255859 × 217)
    floor (0.519313812255859 × 131072)
    floor (68067.5)     		tx = 68067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342548370361328 × 217)
    floor (0.342548370361328 × 131072)
    floor (44898.5)     		ty = 44898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68067 / 44898 ti = "17/68067/44898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68067/44898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68067 ÷ 217
    68067 ÷ 131072     		x = 0.519309997558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44898 ÷ 217
    44898 ÷ 131072     		y = 0.342544555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519309997558594 × 2 - 1) × π
    0.0386199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12132829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342544555664062 × 2 - 1) × π
    0.314910888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.989321734358719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12132829} λ = 0.12132829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989321734358719))-π/2
    2×atan(2.68940971937761)-π/2
    2×1.21480877742764-π/2
    2.42961755485527-1.57079632675     		φ = 0.85882123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12132829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.951599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85882123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.206832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68067 KachelY 44898 0.12132829 0.85882123 6.951599 49.206832
    Oben rechts KachelX + 1 68068 KachelY 44898 0.12137623 0.85882123 6.954346 49.206832
    Unten links KachelX 68067 KachelY + 1 44899 0.12132829 0.85878991 6.951599 49.205037
    Unten rechts KachelX + 1 68068 KachelY + 1 44899 0.12137623 0.85878991 6.954346 49.205037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85882123-0.85878991) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dl = 199.539719999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85882123-0.85878991) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dr = 199.539719999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12132829-0.12137623) × cos(0.85882123) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653330336754579 × 6371000     		do = 199.543901567701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12132829-0.12137623) × cos(0.85878991) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653354047959332 × 6371000     		du = 199.551143579959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85882123)-sin(0.85878991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653330336754579-0.653354047959332)×R²
    abs(0.12137623-0.12132829)×2.37112047527521e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37112047527521e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37112047527521e-05×40589641000000     		ar = 39817.6567842452m²