Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68066 / 68448
↖ ↑ ↗
← S  7.972198°
E  6.948853°		 ← 302.41 m → S  7.972198°
E  6.951599°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
S  7.974918°
E  6.948853°		 ← 302.41 m →
91 458 m²		 S  7.974918°
E  6.951599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519306182861328 y=0.522220611572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519306182861328 × 217)
    floor (0.519306182861328 × 131072)
    floor (68066.5)     		tx = 68066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522220611572266 × 217)
    floor (0.522220611572266 × 131072)
    floor (68448.5)     		ty = 68448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68066 / 68448 ti = "17/68066/68448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68066/68448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68066 ÷ 217
    68066 ÷ 131072     		x = 0.519302368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68448 ÷ 217
    68448 ÷ 131072     		y = 0.522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519302368164062 × 2 - 1) × π
    0.038604736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12128036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.04443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.139592251693604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12128036} λ = 0.12128036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139592251693604))-π/2
    2×atan(0.869712787025942)-π/2
    2×0.715827614031415-π/2
    1.43165522806283-1.57079632675     		φ = -0.13914110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12128036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.948853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13914110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.972198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68066 KachelY 68448 0.12128036 -0.13914110 6.948853 -7.972198
    Oben rechts KachelX + 1 68067 KachelY 68448 0.12132829 -0.13914110 6.951599 -7.972198
    Unten links KachelX 68066 KachelY + 1 68449 0.12128036 -0.13918857 6.948853 -7.974918
    Unten rechts KachelX + 1 68067 KachelY + 1 68449 0.12132829 -0.13918857 6.951599 -7.974918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13914110--0.13918857) × R
    4.74700000000217e-05 × 6371000     		dl = 302.431370000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13914110--0.13918857) × R
    4.74700000000217e-05 × 6371000     		dr = 302.431370000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12128036-0.12132829) × cos(-0.13914110) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990335484533361 × 6371000     		do = 302.410853938151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12128036-0.12132829) × cos(-0.13918857) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990328899681408 × 6371000     		du = 302.408843174391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13914110)-sin(-0.13918857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990335484533361-0.990328899681408)×R²
    abs(0.12132829-0.12128036)×6.58485195303982e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.58485195303982e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.58485195303982e-06×40589641000000     		ar = 91458.2248175772m²