Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68065 / 68702
↖ ↑ ↗
← S  8.662488°
E  6.946106°		 ← 301.94 m → S  8.662488°
E  6.948853°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
S  8.665203°
E  6.946106°		 ← 301.94 m →
91 162 m²		 S  8.665203°
E  6.948853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519298553466797 y=0.524158477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519298553466797 × 217)
    floor (0.519298553466797 × 131072)
    floor (68065.5)     		tx = 68065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524158477783203 × 217)
    floor (0.524158477783203 × 131072)
    floor (68702.5)     		ty = 68702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68065 / 68702 ti = "17/68065/68702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68065/68702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68065 ÷ 217
    68065 ÷ 131072     		x = 0.519294738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68702 ÷ 217
    68702 ÷ 131072     		y = 0.524154663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519294738769531 × 2 - 1) × π
    0.0385894775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12123242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524154663085938 × 2 - 1) × π
    -0.048309326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.151768224197098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12123242} λ = 0.12123242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151768224197098))-π/2
    2×atan(0.859187396513793)-π/2
    2×0.709803698909707-π/2
    1.41960739781941-1.57079632675     		φ = -0.15118893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12123242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.946106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15118893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.662488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68065 KachelY 68702 0.12123242 -0.15118893 6.946106 -8.662488
    Oben rechts KachelX + 1 68066 KachelY 68702 0.12128036 -0.15118893 6.948853 -8.662488
    Unten links KachelX 68065 KachelY + 1 68703 0.12123242 -0.15123632 6.946106 -8.665203
    Unten rechts KachelX + 1 68066 KachelY + 1 68703 0.12128036 -0.15123632 6.948853 -8.665203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15118893--0.15123632) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dl = 301.921690000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15118893--0.15123632) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dr = 301.921690000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12123242-0.12128036) × cos(-0.15118893) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988592707658215 × 6371000     		do = 301.941659295178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12123242-0.12128036) × cos(-0.15123632) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988585568969325 × 6371000     		du = 301.939478955841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15118893)-sin(-0.15123632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988592707658215-0.988585568969325)×R²
    abs(0.12128036-0.12123242)×7.13868889068436e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.13868889068436e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.13868889068436e-06×40589641000000     		ar = 91162.4069270361m²