Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68063 / 68739
↖ ↑ ↗
← S  8.762939°
E  6.940613°		 ← 301.80 m → S  8.762939°
E  6.943359°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.765653°
E  6.940613°		 ← 301.80 m →
91 080 m²		 S  8.765653°
E  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519283294677734 y=0.524440765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519283294677734 × 217)
    floor (0.519283294677734 × 131072)
    floor (68063.5)     		tx = 68063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524440765380859 × 217)
    floor (0.524440765380859 × 131072)
    floor (68739.5)     		ty = 68739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68063 / 68739 ti = "17/68063/68739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68063/68739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68063 ÷ 217
    68063 ÷ 131072     		x = 0.519279479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68739 ÷ 217
    68739 ÷ 131072     		y = 0.524436950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519279479980469 × 2 - 1) × π
    0.0385589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12113655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524436950683594 × 2 - 1) × π
    -0.0488739013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.15354188948304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12113655} λ = 0.12113655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15354188948304))-π/2
    2×atan(0.857664836309718)-π/2
    2×0.708927100166658-π/2
    1.41785420033332-1.57079632675     		φ = -0.15294213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12113655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.940613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15294213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.762939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68063 KachelY 68739 0.12113655 -0.15294213 6.940613 -8.762939
    Oben rechts KachelX + 1 68064 KachelY 68739 0.12118448 -0.15294213 6.943359 -8.762939
    Unten links KachelX 68063 KachelY + 1 68740 0.12113655 -0.15298950 6.940613 -8.765653
    Unten rechts KachelX + 1 68064 KachelY + 1 68740 0.12118448 -0.15298950 6.943359 -8.765653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15294213--0.15298950) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dl = 301.794269999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15294213--0.15298950) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dr = 301.794269999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12113655-0.12118448) × cos(-0.15294213) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988327132695766 × 6371000     		do = 301.797579544068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12113655-0.12118448) × cos(-0.15298950) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98831991492967 × 6371000     		du = 301.795375512361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15294213)-sin(-0.15298950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988327132695766-0.98831991492967)×R²
    abs(0.12118448-0.12113655)×7.21776609580171e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.21776609580171e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.21776609580171e-06×40589641000000     		ar = 91080.4476412198m²