Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68062 / 68712
↖ ↑ ↗
← S  8.689639°
E  6.937866°		 ← 301.92 m → S  8.689639°
E  6.940613°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
S  8.692354°
E  6.937866°		 ← 301.92 m →
91 156 m²		 S  8.692354°
E  6.940613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519275665283203 y=0.524234771728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519275665283203 × 217)
    floor (0.519275665283203 × 131072)
    floor (68062.5)     		tx = 68062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524234771728516 × 217)
    floor (0.524234771728516 × 131072)
    floor (68712.5)     		ty = 68712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68062 / 68712 ti = "17/68062/68712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68062/68712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68062 ÷ 217
    68062 ÷ 131072     		x = 0.519271850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68712 ÷ 217
    68712 ÷ 131072     		y = 0.52423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519271850585938 × 2 - 1) × π
    0.038543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12108861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0484619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.152247593193298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12108861} λ = 0.12108861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.152247593193298))-π/2
    2×atan(0.858775627416533)-π/2
    2×0.709566757125219-π/2
    1.41913351425044-1.57079632675     		φ = -0.15166281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12108861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.937866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15166281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.689639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68062 KachelY 68712 0.12108861 -0.15166281 6.937866 -8.689639
    Oben rechts KachelX + 1 68063 KachelY 68712 0.12113655 -0.15166281 6.940613 -8.689639
    Unten links KachelX 68062 KachelY + 1 68713 0.12108861 -0.15171020 6.937866 -8.692354
    Unten rechts KachelX + 1 68063 KachelY + 1 68713 0.12113655 -0.15171020 6.940613 -8.692354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15166281--0.15171020) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dl = 301.921689999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15166281--0.15171020) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dr = 301.921689999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12108861-0.12113655) × cos(-0.15166281) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988521223884891 × 6371000     		do = 301.919826310725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12108861-0.12113655) × cos(-0.15171020) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988514062995885 × 6371000     		du = 301.917639190902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15166281)-sin(-0.15171020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988521223884891-0.988514062995885)×R²
    abs(0.12113655-0.12108861)×7.16088900587497e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.16088900587497e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.16088900587497e-06×40589641000000     		ar = 91155.8140518398m²