Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68061 / 69178
↖ ↑ ↗
← S  9.952620°
E  6.935120°		 ← 300.83 m → S  9.952620°
E  6.937866°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.955325°
E  6.935120°		 ← 300.83 m →
90 501 m²		 S  9.955325°
E  6.937866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519268035888672 y=0.527790069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519268035888672 × 217)
    floor (0.519268035888672 × 131072)
    floor (68061.5)     		tx = 68061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527790069580078 × 217)
    floor (0.527790069580078 × 131072)
    floor (69178.5)     		ty = 69178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68061 / 69178 ti = "17/68061/69178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68061/69178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68061 ÷ 217
    68061 ÷ 131072     		x = 0.519264221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69178 ÷ 217
    69178 ÷ 131072     		y = 0.527786254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519264221191406 × 2 - 1) × π
    0.0385284423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12104067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527786254882812 × 2 - 1) × π
    -0.055572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.174586188416245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12104067} λ = 0.12104067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174586188416245))-π/2
    2×atan(0.839804469692703)-π/2
    2×0.698545173491759-π/2
    1.39709034698352-1.57079632675     		φ = -0.17370598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12104067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.935120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17370598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.952620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68061 KachelY 69178 0.12104067 -0.17370598 6.935120 -9.952620
    Oben rechts KachelX + 1 68062 KachelY 69178 0.12108861 -0.17370598 6.937866 -9.952620
    Unten links KachelX 68061 KachelY + 1 69179 0.12104067 -0.17375320 6.935120 -9.955325
    Unten rechts KachelX + 1 68062 KachelY + 1 69179 0.12108861 -0.17375320 6.937866 -9.955325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17370598--0.17375320) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dl = 300.838619999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17370598--0.17375320) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dr = 300.838619999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12104067-0.12108861) × cos(-0.17370598) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984951013798112 × 6371000     		do = 300.829392253015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12104067-0.12108861) × cos(-0.17375320) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984942851490998 × 6371000     		du = 300.826899274325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17370598)-sin(-0.17375320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984951013798112-0.984942851490998)×R²
    abs(0.12108861-0.12104067)×8.16230711364607e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.16230711364607e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.16230711364607e-06×40589641000000     		ar = 90500.7242454797m²