Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68060 / 69484
↖ ↑ ↗
← S 10.779348°
E  6.932373°		 ← 300.04 m → S 10.779348°
E  6.935120°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
S 10.782046°
E  6.932373°		 ← 300.03 m →
90 014 m²		 S 10.782046°
E  6.935120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519260406494141 y=0.530124664306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519260406494141 × 217)
    floor (0.519260406494141 × 131072)
    floor (68060.5)     		tx = 68060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530124664306641 × 217)
    floor (0.530124664306641 × 131072)
    floor (69484.5)     		ty = 69484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68060 / 69484 ti = "17/68060/69484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68060/69484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68060 ÷ 217
    68060 ÷ 131072     		x = 0.519256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69484 ÷ 217
    69484 ÷ 131072     		y = 0.530120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519256591796875 × 2 - 1) × π
    0.03851318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12099273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530120849609375 × 2 - 1) × π
    -0.06024169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.189254879699982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12099273} λ = 0.12099273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.189254879699982))-π/2
    2×atan(0.827575547603995)-π/2
    2×0.691330602367222-π/2
    1.38266120473444-1.57079632675     		φ = -0.18813512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12099273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.932373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18813512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.779348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68060 KachelY 69484 0.12099273 -0.18813512 6.932373 -10.779348
    Oben rechts KachelX + 1 68061 KachelY 69484 0.12104067 -0.18813512 6.935120 -10.779348
    Unten links KachelX 68060 KachelY + 1 69485 0.12099273 -0.18818221 6.932373 -10.782046
    Unten rechts KachelX + 1 68061 KachelY + 1 69485 0.12104067 -0.18818221 6.935120 -10.782046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18813512--0.18818221) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18813512--0.18818221) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12099273-0.12104067) × cos(-0.18813512) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982354726493609 × 6371000     		do = 300.036419281785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12099273-0.12104067) × cos(-0.18818221) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982345918291354 × 6371000     		du = 300.033729030093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18813512)-sin(-0.18818221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982354726493609-0.982345918291354)×R²
    abs(0.12104067-0.12099273)×8.80820225523937e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.80820225523937e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.80820225523937e-06×40589641000000     		ar = 90013.6396278003m²