Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68060 / 68979
↖ ↑ ↗
← S  9.413839°
E  6.932373°		 ← 301.31 m → S  9.413839°
E  6.935120°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.416549°
E  6.932373°		 ← 301.31 m →
90 800 m²		 S  9.416549°
E  6.935120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519260406494141 y=0.526271820068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519260406494141 × 217)
    floor (0.519260406494141 × 131072)
    floor (68060.5)     		tx = 68060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526271820068359 × 217)
    floor (0.526271820068359 × 131072)
    floor (68979.5)     		ty = 68979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68060 / 68979 ti = "17/68060/68979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68060/68979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68060 ÷ 217
    68060 ÷ 131072     		x = 0.519256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68979 ÷ 217
    68979 ÷ 131072     		y = 0.526268005371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519256591796875 × 2 - 1) × π
    0.03851318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12099273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526268005371094 × 2 - 1) × π
    -0.0525360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.165046745391853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12099273} λ = 0.12099273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165046745391853))-π/2
    2×atan(0.847854069890834)-π/2
    2×0.703246921231434-π/2
    1.40649384246287-1.57079632675     		φ = -0.16430248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12099273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.932373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16430248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.413839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68060 KachelY 68979 0.12099273 -0.16430248 6.932373 -9.413839
    Oben rechts KachelX + 1 68061 KachelY 68979 0.12104067 -0.16430248 6.935120 -9.413839
    Unten links KachelX 68060 KachelY + 1 68980 0.12099273 -0.16434978 6.932373 -9.416549
    Unten rechts KachelX + 1 68061 KachelY + 1 68980 0.12104067 -0.16434978 6.935120 -9.416549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16430248--0.16434978) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16430248--0.16434978) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12099273-0.12104067) × cos(-0.16430248) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986532684659871 × 6371000     		do = 301.312475246405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12099273-0.12104067) × cos(-0.16434978) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986524946967527 × 6371000     		du = 301.310111955995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16430248)-sin(-0.16434978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986532684659871-0.986524946967527)×R²
    abs(0.12104067-0.12099273)×7.73769234452271e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.73769234452271e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.73769234452271e-06×40589641000000     		ar = 90799.646114422m²