Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68060 / 68575
↖ ↑ ↗
← S  8.317495°
E  6.932373°		 ← 302.21 m → S  8.317495°
E  6.935120°		 →
↑
302.18 m
↓
↑
302.18 m
↓
S  8.320212°
E  6.932373°		 ← 302.21 m →
91 321 m²		 S  8.320212°
E  6.935120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519260406494141 y=0.523189544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519260406494141 × 217)
    floor (0.519260406494141 × 131072)
    floor (68060.5)     		tx = 68060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523189544677734 × 217)
    floor (0.523189544677734 × 131072)
    floor (68575.5)     		ty = 68575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68060 / 68575 ti = "17/68060/68575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68060/68575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68060 ÷ 217
    68060 ÷ 131072     		x = 0.519256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68575 ÷ 217
    68575 ÷ 131072     		y = 0.523185729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519256591796875 × 2 - 1) × π
    0.03851318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12099273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523185729980469 × 2 - 1) × π
    -0.0463714599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.145680237945351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12099273} λ = 0.12099273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.145680237945351))-π/2
    2×atan(0.864434072211163)-π/2
    2×0.712814330200371-π/2
    1.42562866040074-1.57079632675     		φ = -0.14516767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12099273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.932373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14516767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.317495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68060 KachelY 68575 0.12099273 -0.14516767 6.932373 -8.317495
    Oben rechts KachelX + 1 68061 KachelY 68575 0.12104067 -0.14516767 6.935120 -8.317495
    Unten links KachelX 68060 KachelY + 1 68576 0.12099273 -0.14521510 6.932373 -8.320212
    Unten rechts KachelX + 1 68061 KachelY + 1 68576 0.12104067 -0.14521510 6.935120 -8.320212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14516767--0.14521510) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dl = 302.176530000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14516767--0.14521510) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dr = 302.176530000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12099273-0.12104067) × cos(-0.14516767) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989481664917716 × 6371000     		do = 302.213169723902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12099273-0.12104067) × cos(-0.14521510) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989474802659769 × 6371000     		du = 302.211073813691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14516767)-sin(-0.14521510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989481664917716-0.989474802659769)×R²
    abs(0.12104067-0.12099273)×6.86225794654938e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.86225794654938e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.86225794654938e-06×40589641000000     		ar = 91321.4102971831m²