Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68057 / 68701
↖ ↑ ↗
← S  8.659772°
E  6.924133°		 ← 301.94 m → S  8.659772°
E  6.926880°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
S  8.662488°
E  6.924133°		 ← 301.94 m →
91 163 m²		 S  8.662488°
E  6.926880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519237518310547 y=0.524150848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519237518310547 × 217)
    floor (0.519237518310547 × 131072)
    floor (68057.5)     		tx = 68057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524150848388672 × 217)
    floor (0.524150848388672 × 131072)
    floor (68701.5)     		ty = 68701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68057 / 68701 ti = "17/68057/68701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68057/68701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68057 ÷ 217
    68057 ÷ 131072     		x = 0.519233703613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68701 ÷ 217
    68701 ÷ 131072     		y = 0.524147033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519233703613281 × 2 - 1) × π
    0.0384674072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12084892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524147033691406 × 2 - 1) × π
    -0.0482940673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.151720287297478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12084892} λ = 0.12084892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151720287297478))-π/2
    2×atan(0.859228584280974)-π/2
    2×0.709827394029937-π/2
    1.41965478805987-1.57079632675     		φ = -0.15114154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12084892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.924133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15114154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.659772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68057 KachelY 68701 0.12084892 -0.15114154 6.924133 -8.659772
    Oben rechts KachelX + 1 68058 KachelY 68701 0.12089686 -0.15114154 6.926880 -8.659772
    Unten links KachelX 68057 KachelY + 1 68702 0.12084892 -0.15118893 6.924133 -8.662488
    Unten rechts KachelX + 1 68058 KachelY + 1 68702 0.12089686 -0.15118893 6.926880 -8.662488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15114154--0.15118893) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dl = 301.921690000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15114154--0.15118893) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dr = 301.921690000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12084892-0.12089686) × cos(-0.15114154) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988599844126912 × 6371000     		do = 301.943838956324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12084892-0.12089686) × cos(-0.15118893) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988592707658215 × 6371000     		du = 301.941659295091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15114154)-sin(-0.15118893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988599844126912-0.988592707658215)×R²
    abs(0.12089686-0.12084892)×7.13646869721085e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.13646869721085e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.13646869721085e-06×40589641000000     		ar = 91163.0651163522m²