Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68056 / 42440
↖ ↑ ↗
← N 53.422628°
E  6.921387°		 ← 181.97 m → N 53.422628°
E  6.924133°		 →
↑
182.02 m
↓
↑
182.02 m
↓
N 53.420991°
E  6.921387°		 ← 181.97 m →
33 122 m²		 N 53.420991°
E  6.924133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519229888916016 y=0.323795318603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519229888916016 × 217)
    floor (0.519229888916016 × 131072)
    floor (68056.5)     		tx = 68056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323795318603516 × 217)
    floor (0.323795318603516 × 131072)
    floor (42440.5)     		ty = 42440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68056 / 42440 ti = "17/68056/42440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68056/42440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68056 ÷ 217
    68056 ÷ 131072     		x = 0.51922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42440 ÷ 217
    42440 ÷ 131072     		y = 0.32379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51922607421875 × 2 - 1) × π
    0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32379150390625 × 2 - 1) × π
    0.3524169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10715063362482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12080099} λ = 0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10715063362482))-π/2
    2×atan(3.02572470177443)-π/2
    2×1.25159853626105-π/2
    2.5031970725221-1.57079632675     		φ = 0.93240075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93240075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.422628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68056 KachelY 42440 0.12080099 0.93240075 6.921387 53.422628
    Oben rechts KachelX + 1 68057 KachelY 42440 0.12084892 0.93240075 6.924133 53.422628
    Unten links KachelX 68056 KachelY + 1 42441 0.12080099 0.93237218 6.921387 53.420991
    Unten rechts KachelX + 1 68057 KachelY + 1 42441 0.12084892 0.93237218 6.924133 53.420991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93240075-0.93237218) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dl = 182.019470000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93240075-0.93237218) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dr = 182.019470000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12080099-0.12084892) × cos(0.93240075) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.595907772225575 × 6371000     		do = 181.967607019585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12080099-0.12084892) × cos(0.93237218) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.595930715203131 × 6371000     		du = 181.974612933786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93240075)-sin(0.93237218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595907772225575-0.595930715203131)×R²
    abs(0.12084892-0.12080099)×2.29429775560064e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.29429775560064e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.29429775560064e-05×40589641000000     		ar = 33122.2849954196m²