Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68054 / 68987
↖ ↑ ↗
← S  9.435515°
E  6.915893°		 ← 301.29 m → S  9.435515°
E  6.918640°		 →
↑
301.28 m
↓
↑
301.28 m
↓
S  9.438224°
E  6.915893°		 ← 301.29 m →
90 775 m²		 S  9.438224°
E  6.918640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519214630126953 y=0.526332855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519214630126953 × 217)
    floor (0.519214630126953 × 131072)
    floor (68054.5)     		tx = 68054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526332855224609 × 217)
    floor (0.526332855224609 × 131072)
    floor (68987.5)     		ty = 68987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68054 / 68987 ti = "17/68054/68987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68054/68987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68054 ÷ 217
    68054 ÷ 131072     		x = 0.519210815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68987 ÷ 217
    68987 ÷ 131072     		y = 0.526329040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519210815429688 × 2 - 1) × π
    0.038421630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12070511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526329040527344 × 2 - 1) × π
    -0.0526580810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.165430240588814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12070511} λ = 0.12070511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165430240588814))-π/2
    2×atan(0.847528984265679)-π/2
    2×0.703057761895653-π/2
    1.40611552379131-1.57079632675     		φ = -0.16468080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12070511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.915893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16468080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.435515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68054 KachelY 68987 0.12070511 -0.16468080 6.915893 -9.435515
    Oben rechts KachelX + 1 68055 KachelY 68987 0.12075305 -0.16468080 6.918640 -9.435515
    Unten links KachelX 68054 KachelY + 1 68988 0.12070511 -0.16472809 6.915893 -9.438224
    Unten rechts KachelX + 1 68055 KachelY + 1 68988 0.12075305 -0.16472809 6.918640 -9.438224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16468080--0.16472809) × R
    4.72900000000054e-05 × 6371000     		dl = 301.284590000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16468080--0.16472809) × R
    4.72900000000054e-05 × 6371000     		dr = 301.284590000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12070511-0.12075305) × cos(-0.16468080) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986470734437098 × 6371000     		do = 301.293554053771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12070511-0.12075305) × cos(-0.16472809) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986462980731673 × 6371000     		du = 301.291185872554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16468080)-sin(-0.16472809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986470734437098-0.986462980731673)×R²
    abs(0.12075305-0.12070511)×7.75370542471787e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.75370542471787e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.75370542471787e-06×40589641000000     		ar = 90774.7481714277m²