Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68053 / 69224
↖ ↑ ↗
← S 10.077037°
E  6.913147°		 ← 300.65 m → S 10.077037°
E  6.915893°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
S 10.079741°
E  6.913147°		 ← 300.65 m →
90 390 m²		 S 10.079741°
E  6.915893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519207000732422 y=0.528141021728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519207000732422 × 217)
    floor (0.519207000732422 × 131072)
    floor (68053.5)     		tx = 68053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528141021728516 × 217)
    floor (0.528141021728516 × 131072)
    floor (69224.5)     		ty = 69224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68053 / 69224 ti = "17/68053/69224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68053/69224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68053 ÷ 217
    68053 ÷ 131072     		x = 0.519203186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69224 ÷ 217
    69224 ÷ 131072     		y = 0.52813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519203186035156 × 2 - 1) × π
    0.0384063720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12065718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.0562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.176791285798767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12065718} λ = 0.12065718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176791285798767))-π/2
    2×atan(0.837954659310321)-π/2
    2×0.697459424804855-π/2
    1.39491884960971-1.57079632675     		φ = -0.17587748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12065718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.913147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17587748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.077037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68053 KachelY 69224 0.12065718 -0.17587748 6.913147 -10.077037
    Oben rechts KachelX + 1 68054 KachelY 69224 0.12070511 -0.17587748 6.915893 -10.077037
    Unten links KachelX 68053 KachelY + 1 69225 0.12065718 -0.17592467 6.913147 -10.079741
    Unten rechts KachelX + 1 68054 KachelY + 1 69225 0.12070511 -0.17592467 6.915893 -10.079741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17587748--0.17592467) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17587748--0.17592467) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12065718-0.12070511) × cos(-0.17587748) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984573383410475 × 6371000     		do = 300.651327042201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12065718-0.12070511) × cos(-0.17592467) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984565125378528 × 6371000     		du = 300.648805352802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17587748)-sin(-0.17592467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984573383410475-0.984565125378528)×R²
    abs(0.12070511-0.12065718)×8.2580319463732e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.2580319463732e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.2580319463732e-06×40589641000000     		ar = 90389.6877873575m²