Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68053 / 68625
↖ ↑ ↗
← S  8.453356°
E  6.913147°		 ← 302.04 m → S  8.453356°
E  6.915893°		 →
↑
302.05 m
↓
↑
302.05 m
↓
S  8.456072°
E  6.913147°		 ← 302.04 m →
91 232 m²		 S  8.456072°
E  6.915893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519207000732422 y=0.523571014404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519207000732422 × 217)
    floor (0.519207000732422 × 131072)
    floor (68053.5)     		tx = 68053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523571014404297 × 217)
    floor (0.523571014404297 × 131072)
    floor (68625.5)     		ty = 68625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68053 / 68625 ti = "17/68053/68625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68053/68625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68053 ÷ 217
    68053 ÷ 131072     		x = 0.519203186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68625 ÷ 217
    68625 ÷ 131072     		y = 0.523567199707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519203186035156 × 2 - 1) × π
    0.0384063720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12065718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523567199707031 × 2 - 1) × π
    -0.0471343994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.148077082926353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12065718} λ = 0.12065718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148077082926353))-π/2
    2×atan(0.862364638790049)-π/2
    2×0.711628719781349-π/2
    1.4232574395627-1.57079632675     		φ = -0.14753889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12065718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.913147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14753889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.453356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68053 KachelY 68625 0.12065718 -0.14753889 6.913147 -8.453356
    Oben rechts KachelX + 1 68054 KachelY 68625 0.12070511 -0.14753889 6.915893 -8.453356
    Unten links KachelX 68053 KachelY + 1 68626 0.12065718 -0.14758630 6.913147 -8.456072
    Unten rechts KachelX + 1 68054 KachelY + 1 68626 0.12070511 -0.14758630 6.915893 -8.456072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14753889--0.14758630) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dl = 302.049109999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14753889--0.14758630) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dr = 302.049109999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12065718-0.12070511) × cos(-0.14753889) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989135866724409 × 6371000     		do = 302.044536208785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12065718-0.12070511) × cos(-0.14758630) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989128896143268 × 6371000     		du = 302.042407657977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14753889)-sin(-0.14758630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989135866724409-0.989128896143268)×R²
    abs(0.12070511-0.12065718)×6.97058114129678e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.97058114129678e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.97058114129678e-06×40589641000000     		ar = 91231.9618958672m²