Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68052 / 68686
↖ ↑ ↗
← S  8.619041°
E  6.910400°		 ← 301.98 m → S  8.619041°
E  6.913147°		 →
↑
301.99 m
↓
↑
301.99 m
↓
S  8.621757°
E  6.910400°		 ← 301.97 m →
91 192 m²		 S  8.621757°
E  6.913147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519199371337891 y=0.524036407470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519199371337891 × 217)
    floor (0.519199371337891 × 131072)
    floor (68052.5)     		tx = 68052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524036407470703 × 217)
    floor (0.524036407470703 × 131072)
    floor (68686.5)     		ty = 68686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68052 / 68686 ti = "17/68052/68686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68052/68686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68052 ÷ 217
    68052 ÷ 131072     		x = 0.519195556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68686 ÷ 217
    68686 ÷ 131072     		y = 0.524032592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519195556640625 × 2 - 1) × π
    0.03839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12060924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524032592773438 × 2 - 1) × π
    -0.048065185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.151001233803177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12060924} λ = 0.12060924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151001233803177))-π/2
    2×atan(0.859846637777038)-π/2
    2×0.710182841327263-π/2
    1.42036568265453-1.57079632675     		φ = -0.15043064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12060924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.910400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15043064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.619041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68052 KachelY 68686 0.12060924 -0.15043064 6.910400 -8.619041
    Oben rechts KachelX + 1 68053 KachelY 68686 0.12065718 -0.15043064 6.913147 -8.619041
    Unten links KachelX 68052 KachelY + 1 68687 0.12060924 -0.15047804 6.910400 -8.621757
    Unten rechts KachelX + 1 68053 KachelY + 1 68687 0.12065718 -0.15047804 6.913147 -8.621757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15043064--0.15047804) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dl = 301.985400000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15043064--0.15047804) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dr = 301.985400000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12060924-0.12065718) × cos(-0.15043064) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988706632216466 × 6371000     		do = 301.976454787599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12060924-0.12065718) × cos(-0.15047804) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988699527555826 × 6371000     		du = 301.974284841365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15043064)-sin(-0.15047804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988706632216466-0.988699527555826)×R²
    abs(0.12065718-0.12060924)×7.10466063991166e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.10466063991166e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.10466063991166e-06×40589641000000     		ar = 91192.1528606252m²