Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68051 / 68689
↖ ↑ ↗
← S  8.627188°
E  6.907654°		 ← 301.97 m → S  8.627188°
E  6.910400°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
S  8.629903°
E  6.907654°		 ← 301.97 m →
91 171 m²		 S  8.629903°
E  6.910400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519191741943359 y=0.524059295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519191741943359 × 217)
    floor (0.519191741943359 × 131072)
    floor (68051.5)     		tx = 68051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524059295654297 × 217)
    floor (0.524059295654297 × 131072)
    floor (68689.5)     		ty = 68689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68051 / 68689 ti = "17/68051/68689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68051/68689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68051 ÷ 217
    68051 ÷ 131072     		x = 0.519187927246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68689 ÷ 217
    68689 ÷ 131072     		y = 0.524055480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519187927246094 × 2 - 1) × π
    0.0383758544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12056130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524055480957031 × 2 - 1) × π
    -0.0481109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.151145044502037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12056130} λ = 0.12056130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151145044502037))-π/2
    2×atan(0.859722991522187)-π/2
    2×0.710111748797771-π/2
    1.42022349759554-1.57079632675     		φ = -0.15057283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12056130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.907654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15057283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.627188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68051 KachelY 68689 0.12056130 -0.15057283 6.907654 -8.627188
    Oben rechts KachelX + 1 68052 KachelY 68689 0.12060924 -0.15057283 6.910400 -8.627188
    Unten links KachelX 68051 KachelY + 1 68690 0.12056130 -0.15062022 6.907654 -8.629903
    Unten rechts KachelX + 1 68052 KachelY + 1 68690 0.12060924 -0.15062022 6.910400 -8.629903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15057283--0.15062022) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dl = 301.921690000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15057283--0.15062022) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dr = 301.921690000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12056130-0.12060924) × cos(-0.15057283) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988685313070496 × 6371000     		do = 301.969943371752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12056130-0.12060924) × cos(-0.15062022) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988678203246774 × 6371000     		du = 301.967771848581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15057283)-sin(-0.15062022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988685313070496-0.988678203246774)×R²
    abs(0.12060924-0.12056130)×7.10982372131852e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.10982372131852e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.10982372131852e-06×40589641000000     		ar = 91170.947834154m²