Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68050 / 68687
↖ ↑ ↗
← S  8.621757°
E  6.904907°		 ← 301.91 m → S  8.621757°
E  6.907654°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
S  8.624472°
E  6.904907°		 ← 301.91 m →
91 153 m²		 S  8.624472°
E  6.907654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519184112548828 y=0.524044036865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519184112548828 × 217)
    floor (0.519184112548828 × 131072)
    floor (68050.5)     		tx = 68050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524044036865234 × 217)
    floor (0.524044036865234 × 131072)
    floor (68687.5)     		ty = 68687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68050 / 68687 ti = "17/68050/68687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68050/68687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68050 ÷ 217
    68050 ÷ 131072     		x = 0.519180297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68687 ÷ 217
    68687 ÷ 131072     		y = 0.524040222167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519180297851562 × 2 - 1) × π
    0.038360595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12051337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524040222167969 × 2 - 1) × π
    -0.0480804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.151049170702797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12051337} λ = 0.12051337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151049170702797))-π/2
    2×atan(0.859805420382999)-π/2
    2×0.710159143647118-π/2
    1.42031828729424-1.57079632675     		φ = -0.15047804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12051337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.904907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15047804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.621757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68050 KachelY 68687 0.12051337 -0.15047804 6.904907 -8.621757
    Oben rechts KachelX + 1 68051 KachelY 68687 0.12056130 -0.15047804 6.907654 -8.621757
    Unten links KachelX 68050 KachelY + 1 68688 0.12051337 -0.15052543 6.904907 -8.624472
    Unten rechts KachelX + 1 68051 KachelY + 1 68688 0.12056130 -0.15052543 6.907654 -8.624472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15047804--0.15052543) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dl = 301.921689999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15047804--0.15052543) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dr = 301.921689999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12051337-0.12056130) × cos(-0.15047804) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988699527555826 × 6371000     		do = 301.911294794498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12051337-0.12056130) × cos(-0.15052543) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988692422173392 × 6371000     		du = 301.909125080494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15047804)-sin(-0.15052543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988699527555826-0.988692422173392)×R²
    abs(0.12056130-0.12051337)×7.10538243398062e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.10538243398062e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.10538243398062e-06×40589641000000     		ar = 91153.240829624m²