Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68049 / 68644
↖ ↑ ↗
← S  8.504970°
E  6.902161°		 ← 302.07 m → S  8.504970°
E  6.904907°		 →
↑
302.05 m
↓
↑
302.05 m
↓
S  8.507686°
E  6.902161°		 ← 302.06 m →
91 239 m²		 S  8.507686°
E  6.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519176483154297 y=0.523715972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519176483154297 × 217)
    floor (0.519176483154297 × 131072)
    floor (68049.5)     		tx = 68049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523715972900391 × 217)
    floor (0.523715972900391 × 131072)
    floor (68644.5)     		ty = 68644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68049 / 68644 ti = "17/68049/68644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68049/68644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68049 ÷ 217
    68049 ÷ 131072     		x = 0.519172668457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68644 ÷ 217
    68644 ÷ 131072     		y = 0.523712158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519172668457031 × 2 - 1) × π
    0.0383453369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12046543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523712158203125 × 2 - 1) × π
    -0.04742431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.148987884019135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12046543} λ = 0.12046543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148987884019135))-π/2
    2×atan(0.861579553717107)-π/2
    2×0.711178296982515-π/2
    1.42235659396503-1.57079632675     		φ = -0.14843973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12046543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.902161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14843973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.504970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68049 KachelY 68644 0.12046543 -0.14843973 6.902161 -8.504970
    Oben rechts KachelX + 1 68050 KachelY 68644 0.12051337 -0.14843973 6.904907 -8.504970
    Unten links KachelX 68049 KachelY + 1 68645 0.12046543 -0.14848714 6.902161 -8.507686
    Unten rechts KachelX + 1 68050 KachelY + 1 68645 0.12051337 -0.14848714 6.904907 -8.507686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14843973--0.14848714) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dl = 302.049109999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14843973--0.14848714) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dr = 302.049109999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12046543-0.12051337) × cos(-0.14843973) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989003038123483 × 6371000     		do = 302.06698478109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12046543-0.12051337) × cos(-0.14848714) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988996025300495 × 6371000     		du = 302.064842884439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14843973)-sin(-0.14848714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989003038123483-0.988996025300495)×R²
    abs(0.12051337-0.12046543)×7.01282298842809e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.01282298842809e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.01282298842809e-06×40589641000000     		ar = 91238.7404516365m²