Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68049 / 68438
↖ ↑ ↗
← S  7.944997°
E  6.902161°		 ← 302.49 m → S  7.944997°
E  6.904907°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
S  7.947716°
E  6.902161°		 ← 302.49 m →
91 483 m²		 S  7.947716°
E  6.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519176483154297 y=0.522144317626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519176483154297 × 217)
    floor (0.519176483154297 × 131072)
    floor (68049.5)     		tx = 68049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522144317626953 × 217)
    floor (0.522144317626953 × 131072)
    floor (68438.5)     		ty = 68438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68049 / 68438 ti = "17/68049/68438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68049/68438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68049 ÷ 217
    68049 ÷ 131072     		x = 0.519172668457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68438 ÷ 217
    68438 ÷ 131072     		y = 0.522140502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519172668457031 × 2 - 1) × π
    0.0383453369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12046543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522140502929688 × 2 - 1) × π
    -0.044281005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.139112882697403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12046543} λ = 0.12046543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139112882697403))-π/2
    2×atan(0.870129800315277)-π/2
    2×0.716064989976975-π/2
    1.43212997995395-1.57079632675     		φ = -0.13866635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12046543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.902161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13866635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.944997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68049 KachelY 68438 0.12046543 -0.13866635 6.902161 -7.944997
    Oben rechts KachelX + 1 68050 KachelY 68438 0.12051337 -0.13866635 6.904907 -7.944997
    Unten links KachelX 68049 KachelY + 1 68439 0.12046543 -0.13871382 6.902161 -7.947716
    Unten rechts KachelX + 1 68050 KachelY + 1 68439 0.12051337 -0.13871382 6.904907 -7.947716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13866635--0.13871382) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dl = 302.431369999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13866635--0.13871382) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dr = 302.431369999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12046543-0.12051337) × cos(-0.13866635) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990401217222308 × 6371000     		do = 302.494024667001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12046543-0.12051337) × cos(-0.13871382) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990394654689601 × 6371000     		du = 302.492020300593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13866635)-sin(-0.13871382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990401217222308-0.990394654689601)×R²
    abs(0.12051337-0.12046543)×6.56253270669982e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.56253270669982e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.56253270669982e-06×40589641000000     		ar = 91483.3792223672m²