Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68048 / 69264
↖ ↑ ↗
← S 10.185188°
E  6.899414°		 ← 300.61 m → S 10.185188°
E  6.902161°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
S 10.187891°
E  6.899414°		 ← 300.61 m →
90 359 m²		 S 10.187891°
E  6.902161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519168853759766 y=0.528446197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519168853759766 × 217)
    floor (0.519168853759766 × 131072)
    floor (68048.5)     		tx = 68048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528446197509766 × 217)
    floor (0.528446197509766 × 131072)
    floor (69264.5)     		ty = 69264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68048 / 69264 ti = "17/68048/69264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68048/69264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68048 ÷ 217
    68048 ÷ 131072     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69264 ÷ 217
    69264 ÷ 131072     		y = 0.5284423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5284423828125 × 2 - 1) × π
    -0.056884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.178708761783569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178708761783569))-π/2
    2×atan(0.836349440850491)-π/2
    2×0.696515635787754-π/2
    1.39303127157551-1.57079632675     		φ = -0.17776506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17776506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.185188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68048 KachelY 69264 0.12041749 -0.17776506 6.899414 -10.185188
    Oben rechts KachelX + 1 68049 KachelY 69264 0.12046543 -0.17776506 6.902161 -10.185188
    Unten links KachelX 68048 KachelY + 1 69265 0.12041749 -0.17781224 6.899414 -10.187891
    Unten rechts KachelX + 1 68049 KachelY + 1 69265 0.12046543 -0.17781224 6.902161 -10.187891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17776506--0.17781224) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dl = 300.58378000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17776506--0.17781224) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dr = 300.58378000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12046543) × cos(-0.17776506) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984241355682506 × 6371000     		do = 300.612644397909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12046543) × cos(-0.17781224) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984233011733682 × 6371000     		du = 300.610095941166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17776506)-sin(-0.17781224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984241355682506-0.984233011733682)×R²
    abs(0.12046543-0.12041749)×8.3439488235415e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.3439488235415e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.3439488235415e-06×40589641000000     		ar = 90358.9019733551m²