Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68048 / 68688
↖ ↑ ↗
← S  8.624472°
E  6.899414°		 ← 301.97 m → S  8.624472°
E  6.902161°		 →
↑
301.99 m
↓
↑
301.99 m
↓
S  8.627188°
E  6.899414°		 ← 301.97 m →
91 191 m²		 S  8.627188°
E  6.902161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519168853759766 y=0.524051666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519168853759766 × 217)
    floor (0.519168853759766 × 131072)
    floor (68048.5)     		tx = 68048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524051666259766 × 217)
    floor (0.524051666259766 × 131072)
    floor (68688.5)     		ty = 68688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68048 / 68688 ti = "17/68048/68688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68048/68688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68048 ÷ 217
    68048 ÷ 131072     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68688 ÷ 217
    68688 ÷ 131072     		y = 0.5240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.048095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.151097107602417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151097107602417))-π/2
    2×atan(0.859764204964747)-π/2
    2×0.71013544613727-π/2
    1.42027089227454-1.57079632675     		φ = -0.15052543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15052543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.624472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68048 KachelY 68688 0.12041749 -0.15052543 6.899414 -8.624472
    Oben rechts KachelX + 1 68049 KachelY 68688 0.12046543 -0.15052543 6.902161 -8.624472
    Unten links KachelX 68048 KachelY + 1 68689 0.12041749 -0.15057283 6.899414 -8.627188
    Unten rechts KachelX + 1 68049 KachelY + 1 68689 0.12046543 -0.15057283 6.902161 -8.627188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15052543--0.15057283) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dl = 301.985400000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15052543--0.15057283) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dr = 301.985400000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12046543) × cos(-0.15052543) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988692422173392 × 6371000     		do = 301.972114674677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12046543) × cos(-0.15057283) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988685313070496 × 6371000     		du = 301.969943371665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15052543)-sin(-0.15057283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988692422173392-0.988685313070496)×R²
    abs(0.12046543-0.12041749)×7.10910289636324e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.10910289636324e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.10910289636324e-06×40589641000000     		ar = 91190.8420050287m²