Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68045 / 99183
↖ ↑ ↗
← S 67.457028°
E  6.891174°		 ← 117.09 m → S 67.457028°
E  6.893921°		 →
↑
117.10 m
↓
↑
117.10 m
↓
S 67.458082°
E  6.891174°		 ← 117.09 m →
13 711 m²		 S 67.458082°
E  6.893921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519145965576172 y=0.756710052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519145965576172 × 217)
    floor (0.519145965576172 × 131072)
    floor (68045.5)     		tx = 68045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756710052490234 × 217)
    floor (0.756710052490234 × 131072)
    floor (99183.5)     		ty = 99183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68045 / 99183 ti = "17/68045/99183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68045/99183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68045 ÷ 217
    68045 ÷ 131072     		x = 0.519142150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99183 ÷ 217
    99183 ÷ 131072     		y = 0.756706237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519142150878906 × 2 - 1) × π
    0.0382843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12027368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756706237792969 × 2 - 1) × π
    -0.513412475585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.61293286151603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12027368} λ = 0.12027368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61293286151603))-π/2
    2×atan(0.199302230228777)-π/2
    2×0.196724537436106-π/2
    0.393449074872212-1.57079632675     		φ = -1.17734725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12027368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.891174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17734725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.457028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68045 KachelY 99183 0.12027368 -1.17734725 6.891174 -67.457028
    Oben rechts KachelX + 1 68046 KachelY 99183 0.12032162 -1.17734725 6.893921 -67.457028
    Unten links KachelX 68045 KachelY + 1 99184 0.12027368 -1.17736563 6.891174 -67.458082
    Unten rechts KachelX + 1 68046 KachelY + 1 99184 0.12032162 -1.17736563 6.893921 -67.458082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17734725--1.17736563) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dl = 117.098979999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17734725--1.17736563) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dr = 117.098979999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12027368-0.12032162) × cos(-1.17734725) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.383376229790666 × 6371000     		do = 117.092968682249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12027368-0.12032162) × cos(-1.17736563) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.383359254100134 × 6371000     		du = 117.087783869406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17734725)-sin(-1.17736563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383376229790666-0.383359254100134)×R²
    abs(0.12032162-0.12027368)×1.69756905316065e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.69756905316065e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.69756905316065e-05×40589641000000     		ar = 13711.1636299774m²