Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68045 / 68986
↖ ↑ ↗
← S  9.432805°
E  6.891174°		 ← 301.30 m → S  9.432805°
E  6.893921°		 →
↑
301.28 m
↓
↑
301.28 m
↓
S  9.435515°
E  6.891174°		 ← 301.29 m →
90 775 m²		 S  9.435515°
E  6.893921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519145965576172 y=0.526325225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519145965576172 × 217)
    floor (0.519145965576172 × 131072)
    floor (68045.5)     		tx = 68045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526325225830078 × 217)
    floor (0.526325225830078 × 131072)
    floor (68986.5)     		ty = 68986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68045 / 68986 ti = "17/68045/68986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68045/68986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68045 ÷ 217
    68045 ÷ 131072     		x = 0.519142150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68986 ÷ 217
    68986 ÷ 131072     		y = 0.526321411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519142150878906 × 2 - 1) × π
    0.0382843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12027368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526321411132812 × 2 - 1) × π
    -0.052642822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.165382303689194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12027368} λ = 0.12027368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165382303689194))-π/2
    2×atan(0.847569613151327)-π/2
    2×0.703081406162826-π/2
    1.40616281232565-1.57079632675     		φ = -0.16463351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12027368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.891174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16463351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.432805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68045 KachelY 68986 0.12027368 -0.16463351 6.891174 -9.432805
    Oben rechts KachelX + 1 68046 KachelY 68986 0.12032162 -0.16463351 6.893921 -9.432805
    Unten links KachelX 68045 KachelY + 1 68987 0.12027368 -0.16468080 6.891174 -9.435515
    Unten rechts KachelX + 1 68046 KachelY + 1 68987 0.12032162 -0.16468080 6.893921 -9.435515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16463351--0.16468080) × R
    4.72899999999776e-05 × 6371000     		dl = 301.284589999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16463351--0.16468080) × R
    4.72899999999776e-05 × 6371000     		dr = 301.284589999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12027368-0.12032162) × cos(-0.16463351) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.986478485936434 × 6371000     		do = 301.295921561279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12027368-0.12032162) × cos(-0.16468080) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.986470734437098 × 6371000     		du = 301.293554053858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16463351)-sin(-0.16468080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986478485936434-0.986470734437098)×R²
    abs(0.12032162-0.12027368)×7.75149933662789e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.75149933662789e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.75149933662789e-06×40589641000000     		ar = 90775.4615663521m²