Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68045 / 68653
↖ ↑ ↗
← S  8.529417°
E  6.891174°		 ← 302.05 m → S  8.529417°
E  6.893921°		 →
↑
301.99 m
↓
↑
301.99 m
↓
S  8.532133°
E  6.891174°		 ← 302.05 m →
91 214 m²		 S  8.532133°
E  6.893921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519145965576172 y=0.523784637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519145965576172 × 217)
    floor (0.519145965576172 × 131072)
    floor (68045.5)     		tx = 68045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523784637451172 × 217)
    floor (0.523784637451172 × 131072)
    floor (68653.5)     		ty = 68653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68045 / 68653 ti = "17/68045/68653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68045/68653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68045 ÷ 217
    68045 ÷ 131072     		x = 0.519142150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68653 ÷ 217
    68653 ÷ 131072     		y = 0.523780822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519142150878906 × 2 - 1) × π
    0.0382843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12027368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523780822753906 × 2 - 1) × π
    -0.0475616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.149419316115715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12027368} λ = 0.12027368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.149419316115715))-π/2
    2×atan(0.861207920816821)-π/2
    2×0.71096495996819-π/2
    1.42192991993638-1.57079632675     		φ = -0.14886641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12027368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.891174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14886641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.529417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68045 KachelY 68653 0.12027368 -0.14886641 6.891174 -8.529417
    Oben rechts KachelX + 1 68046 KachelY 68653 0.12032162 -0.14886641 6.893921 -8.529417
    Unten links KachelX 68045 KachelY + 1 68654 0.12027368 -0.14891381 6.891174 -8.532133
    Unten rechts KachelX + 1 68046 KachelY + 1 68654 0.12032162 -0.14891381 6.893921 -8.532133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14886641--0.14891381) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dl = 301.985400000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14886641--0.14891381) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dr = 301.985400000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12027368-0.12032162) × cos(-0.14886641) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988939844174006 × 6371000     		do = 302.047683722395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12027368-0.12032162) × cos(-0.14891381) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988932812828926 × 6371000     		du = 302.04553616862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14886641)-sin(-0.14891381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988939844174006-0.988932812828926)×R²
    abs(0.12032162-0.12027368)×7.03134508039938e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.03134508039938e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.03134508039938e-06×40589641000000     		ar = 91213.666340166m²