Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68041 / 69483
↖ ↑ ↗
← S 10.776650°
E  6.880188°		 ← 300.04 m → S 10.776650°
E  6.882935°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
S 10.779348°
E  6.880188°		 ← 300.04 m →
90 014 m²		 S 10.779348°
E  6.882935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519115447998047 y=0.530117034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519115447998047 × 217)
    floor (0.519115447998047 × 131072)
    floor (68041.5)     		tx = 68041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530117034912109 × 217)
    floor (0.530117034912109 × 131072)
    floor (69483.5)     		ty = 69483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68041 / 69483 ti = "17/68041/69483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68041/69483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68041 ÷ 217
    68041 ÷ 131072     		x = 0.519111633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69483 ÷ 217
    69483 ÷ 131072     		y = 0.530113220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519111633300781 × 2 - 1) × π
    0.0382232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12008193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530113220214844 × 2 - 1) × π
    -0.0602264404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.189206942800362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12008193} λ = 0.12008193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.189206942800362))-π/2
    2×atan(0.827615219960826)-π/2
    2×0.69135414799271-π/2
    1.38270829598542-1.57079632675     		φ = -0.18808803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12008193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.880188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18808803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.776650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68041 KachelY 69483 0.12008193 -0.18808803 6.880188 -10.776650
    Oben rechts KachelX + 1 68042 KachelY 69483 0.12012987 -0.18808803 6.882935 -10.776650
    Unten links KachelX 68041 KachelY + 1 69484 0.12008193 -0.18813512 6.880188 -10.779348
    Unten rechts KachelX + 1 68042 KachelY + 1 69484 0.12012987 -0.18813512 6.882935 -10.779348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18808803--0.18813512) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18808803--0.18813512) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12008193-0.12012987) × cos(-0.18808803) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982363532517524 × 6371000     		do = 300.039108868156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12008193-0.12012987) × cos(-0.18813512) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982354726493609 × 6371000     		du = 300.036419281785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18808803)-sin(-0.18813512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982363532517524-0.982354726493609)×R²
    abs(0.12012987-0.12008193)×8.80602391495344e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.80602391495344e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.80602391495344e-06×40589641000000     		ar = 90014.4466314965m²