Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68040 / 68824
↖ ↑ ↗
← S  8.993600°
E  6.877442°		 ← 301.61 m → S  8.993600°
E  6.880188°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  8.996313°
E  6.877442°		 ← 301.61 m →
90 985 m²		 S  8.996313°
E  6.880188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519107818603516 y=0.525089263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519107818603516 × 217)
    floor (0.519107818603516 × 131072)
    floor (68040.5)     		tx = 68040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525089263916016 × 217)
    floor (0.525089263916016 × 131072)
    floor (68824.5)     		ty = 68824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68040 / 68824 ti = "17/68040/68824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68040/68824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68040 ÷ 217
    68040 ÷ 131072     		x = 0.51910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68824 ÷ 217
    68824 ÷ 131072     		y = 0.52508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51910400390625 × 2 - 1) × π
    0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.0501708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.157616525950745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12003400} λ = 0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157616525950745))-π/2
    2×atan(0.854177273990162)-π/2
    2×0.706914193544385-π/2
    1.41382838708877-1.57079632675     		φ = -0.15696794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15696794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.993600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68040 KachelY 68824 0.12003400 -0.15696794 6.877442 -8.993600
    Oben rechts KachelX + 1 68041 KachelY 68824 0.12008193 -0.15696794 6.880188 -8.993600
    Unten links KachelX 68040 KachelY + 1 68825 0.12003400 -0.15701529 6.877442 -8.996313
    Unten rechts KachelX + 1 68041 KachelY + 1 68825 0.12008193 -0.15701529 6.880188 -8.996313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15696794--0.15701529) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15696794--0.15701529) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12003400-0.12008193) × cos(-0.15696794) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987705807018834 × 6371000     		do = 301.60785027407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12003400-0.12008193) × cos(-0.15701529) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987698403963271 × 6371000     		du = 301.605589661994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15696794)-sin(-0.15701529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987705807018834-0.987698403963271)×R²
    abs(0.12008193-0.12003400)×7.4030555636817e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.4030555636817e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.4030555636817e-06×40589641000000     		ar = 90984.7491685931m²