Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6804 / 6275
↖ ↑ ↗
← S 68.704486°
E119.003906°		 ← 1 774.67 m → S 68.704486°
E119.047852°		 →
↑
1 774 m
↓
↑
1 774 m
↓
S 68.720440°
E119.003906°		 ← 1 773.40 m →
3 147 146 m²		 S 68.720440°
E119.047852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.83062744140625 y=0.76605224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.83062744140625 × 213)
    floor (0.83062744140625 × 8192)
    floor (6804.5)     		tx = 6804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76605224609375 × 213)
    floor (0.76605224609375 × 8192)
    floor (6275.5)     		ty = 6275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6804 / 6275 ti = "13/6804/6275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6804/6275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6804 ÷ 213
    6804 ÷ 8192     		x = 0.83056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6275 ÷ 213
    6275 ÷ 8192     		y = 0.7659912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83056640625 × 2 - 1) × π
    0.6611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07700999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7659912109375 × 2 - 1) × π
    -0.531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67127206835364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07700999} λ = 2.07700999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67127206835364))-π/2
    2×atan(0.188007754746059)-π/2
    2×0.185838415093209-π/2
    0.371676830186418-1.57079632675     		φ = -1.19911950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07700999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.003906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19911950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.704486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6804 KachelY 6275 2.07700999 -1.19911950 119.003906 -68.704486
    Oben rechts KachelX + 1 6805 KachelY 6275 2.07777698 -1.19911950 119.047852 -68.704486
    Unten links KachelX 6804 KachelY + 1 6276 2.07700999 -1.19939795 119.003906 -68.720440
    Unten rechts KachelX + 1 6805 KachelY + 1 6276 2.07777698 -1.19939795 119.047852 -68.720440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19911950--1.19939795) × R
    0.000278450000000152 × 6371000     		dl = 1774.00495000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19911950--1.19939795) × R
    0.000278450000000152 × 6371000     		dr = 1774.00495000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07700999-2.07777698) × cos(-1.19911950) × R
    0.000766989999999801 × 0.363178274321431 × 6371000     		do = 1774.66820054499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07700999-2.07777698) × cos(-1.19939795) × R
    0.000766989999999801 × 0.362918822903626 × 6371000     		du = 1773.40039293281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19911950)-sin(-1.19939795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363178274321431-0.362918822903626)×R²
    abs(2.07777698-2.07700999)×0.000259451417805034×R²
    0.000766989999999801×0.000259451417805034×6371000²
    0.000766989999999801×0.000259451417805034×40589641000000     		ar = 3147145.64422249m²