Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68039 / 68931
↖ ↑ ↗
← S  9.283754°
E  6.874695°		 ← 301.43 m → S  9.283754°
E  6.877442°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.286464°
E  6.874695°		 ← 301.42 m →
90 834 m²		 S  9.286464°
E  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519100189208984 y=0.525905609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519100189208984 × 217)
    floor (0.519100189208984 × 131072)
    floor (68039.5)     		tx = 68039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525905609130859 × 217)
    floor (0.525905609130859 × 131072)
    floor (68931.5)     		ty = 68931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68039 / 68931 ti = "17/68039/68931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68039/68931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68039 ÷ 217
    68039 ÷ 131072     		x = 0.519096374511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68931 ÷ 217
    68931 ÷ 131072     		y = 0.525901794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519096374511719 × 2 - 1) × π
    0.0381927490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11998606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525901794433594 × 2 - 1) × π
    -0.0518035888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.162745774210091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11998606} λ = 0.11998606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.162745774210091))-π/2
    2×atan(0.849807203862751)-π/2
    2×0.704382125501668-π/2
    1.40876425100334-1.57079632675     		φ = -0.16203208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11998606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.874695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16203208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.283754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68039 KachelY 68931 0.11998606 -0.16203208 6.874695 -9.283754
    Oben rechts KachelX + 1 68040 KachelY 68931 0.12003400 -0.16203208 6.877442 -9.283754
    Unten links KachelX 68039 KachelY + 1 68932 0.11998606 -0.16207938 6.874695 -9.286464
    Unten rechts KachelX + 1 68040 KachelY + 1 68932 0.12003400 -0.16207938 6.877442 -9.286464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16203208--0.16207938) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16203208--0.16207938) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11998606-0.12003400) × cos(-0.16203208) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986901497954783 × 6371000     		do = 301.425120319925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11998606-0.12003400) × cos(-0.16207938) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98689386622554 × 6371000     		du = 301.422789393374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16203208)-sin(-0.16207938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986901497954783-0.98689386622554)×R²
    abs(0.12003400-0.11998606)×7.6317292422301e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.6317292422301e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.6317292422301e-06×40589641000000     		ar = 90833.5963922846m²