Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68038 / 69074
↖ ↑ ↗
← S  9.671153°
E  6.871948°		 ← 301.09 m → S  9.671153°
E  6.874695°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.673861°
E  6.871948°		 ← 301.08 m →
90 654 m²		 S  9.673861°
E  6.874695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519092559814453 y=0.526996612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519092559814453 × 217)
    floor (0.519092559814453 × 131072)
    floor (68038.5)     		tx = 68038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526996612548828 × 217)
    floor (0.526996612548828 × 131072)
    floor (69074.5)     		ty = 69074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68038 / 69074 ti = "17/68038/69074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68038/69074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68038 ÷ 217
    68038 ÷ 131072     		x = 0.519088745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69074 ÷ 217
    69074 ÷ 131072     		y = 0.526992797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519088745117188 × 2 - 1) × π
    0.038177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11993812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526992797851562 × 2 - 1) × π
    -0.053985595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.169600750855759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11993812} λ = 0.11993812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169600750855759))-π/2
    2×atan(0.844001716301421)-π/2
    2×0.701001427574428-π/2
    1.40200285514886-1.57079632675     		φ = -0.16879347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11993812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.871948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16879347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.671153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68038 KachelY 69074 0.11993812 -0.16879347 6.871948 -9.671153
    Oben rechts KachelX + 1 68039 KachelY 69074 0.11998606 -0.16879347 6.874695 -9.671153
    Unten links KachelX 68038 KachelY + 1 69075 0.11993812 -0.16884073 6.871948 -9.673861
    Unten rechts KachelX + 1 68039 KachelY + 1 69075 0.11998606 -0.16884073 6.874695 -9.673861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16879347--0.16884073) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16879347--0.16884073) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11993812-0.11998606) × cos(-0.16879347) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.985788173074656 × 6371000     		do = 301.085082244639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11993812-0.11998606) × cos(-0.16884073) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.985780232620408 × 6371000     		du = 301.082657025524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16879347)-sin(-0.16884073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985788173074656-0.985780232620408)×R²
    abs(0.11998606-0.11993812)×7.94045424812317e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.94045424812317e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.94045424812317e-06×40589641000000     		ar = 90654.3840754785m²