Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68038 / 68690
↖ ↑ ↗
← S  8.629903°
E  6.871948°		 ← 301.97 m → S  8.629903°
E  6.874695°		 →
↑
301.99 m
↓
↑
301.99 m
↓
S  8.632619°
E  6.871948°		 ← 301.97 m →
91 190 m²		 S  8.632619°
E  6.874695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519092559814453 y=0.524066925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519092559814453 × 217)
    floor (0.519092559814453 × 131072)
    floor (68038.5)     		tx = 68038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524066925048828 × 217)
    floor (0.524066925048828 × 131072)
    floor (68690.5)     		ty = 68690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68038 / 68690 ti = "17/68038/68690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68038/68690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68038 ÷ 217
    68038 ÷ 131072     		x = 0.519088745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68690 ÷ 217
    68690 ÷ 131072     		y = 0.524063110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519088745117188 × 2 - 1) × π
    0.038177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11993812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524063110351562 × 2 - 1) × π
    -0.048126220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.151192981401657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11993812} λ = 0.11993812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151192981401657))-π/2
    2×atan(0.859681780055224)-π/2
    2×0.710088051628673-π/2
    1.42017610325735-1.57079632675     		φ = -0.15062022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11993812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.871948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15062022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.629903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68038 KachelY 68690 0.11993812 -0.15062022 6.871948 -8.629903
    Oben rechts KachelX + 1 68039 KachelY 68690 0.11998606 -0.15062022 6.874695 -8.629903
    Unten links KachelX 68038 KachelY + 1 68691 0.11993812 -0.15066762 6.871948 -8.632619
    Unten rechts KachelX + 1 68039 KachelY + 1 68691 0.11998606 -0.15066762 6.874695 -8.632619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15062022--0.15066762) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dl = 301.985400000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15062022--0.15066762) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dr = 301.985400000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11993812-0.11998606) × cos(-0.15062022) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988678203246774 × 6371000     		do = 301.967771848581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11993812-0.11998606) × cos(-0.15066762) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988671089701685 × 6371000     		du = 301.965599188808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15062022)-sin(-0.15066762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988678203246774-0.988671089701685)×R²
    abs(0.11998606-0.11993812)×7.11354508897699e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.11354508897699e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.11354508897699e-06×40589641000000     		ar = 91189.5303300932m²